Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 32. Вычислите сточностью до 0,0001 корень

многочлена f(x) = x⁴ + 3x³ – 9x – 9 из промежутка (1; 2).

 

              Решение.

             Для приближенного вычислениядействительных корней многочлена

существует много различных методов. Одним изнаи­более простых и

распространенных методов является метод Ньютона (или касательных), который

обычно применяется совместно с методом линейной интерполяции (или хорд).

Эти методы позволяют постепен­ноприближаться к корню с двух сторон (слева

и справа). Применим методы хорд икасательных к решению нашей задачи.

             Для наглядности построимпримерный график многочлена на участке

(1; 2). Первая производная f ¢(х) = 4х³ + 9х² – 9 = 4x³ + 9(x² – 1) в промежутке

(1;2) принимает лишь положительные значения. Значит, многочлен f(x) в 

промежутке (1; 2) возрастает от f(l) = –14 до f(2) = 13. Кроме того, вторая

производная f "(х) = 12х² + 18х в интервале (1; 2) также положительна.

Следовательно, график функции f (x) в этом интервале является вогнутой кривой.

Учитывая отмеченные факты, имеем примерный (весьма грубый) график

многочлена f(x) на отрезке (1; 2) (рис. 1).

             Из чертежа видно, что, проведя хорду АВ, мы получим приближение

b₁ к корню x₁ слева. Чтобы приблизиться к корню справа, нужно провести

касательную к кривой. Однакоздесь очень важно, че­рез какую точку (А или В)

еепроводить.

 

             При проведении касательнойследует пользоваться правилом:

касательную к кривой, соединяющей точки А и В,следует проводить в той

точке (А или В), в которой значения многочлена f(x) и его второй

производной имеют одинаковыезнаки. При несоблюдении этого правила

вместо приближения к корню можно получитьудаление от него. В нашем случае

имеем: f(l) < 0, f(2) > 0, f "(l)> 0, f "(2) > 0. Отсюда видно, что f(x) и

f "(x) имеют одинаковые знаки при х=2. Следовательно, касательную следует

проводить через точку А. Теперь, отыскивая абсциссы a₁ и b₁ получим:

и

 

где а = 2, b = 1. Отсюда имеем:

 

              Так как верхнюю границу всегдаследует брать с избытком, а нижнюю

с недостатком, то положим а₁ = 1,8; b₁ = l,5.

              Теперь, применяя те жерассуждения относительно

точек А₁(1,8; f(l,8)) и B₁(1,5; f(l,5)), получим новые приближения к корню:

 и

 

              Подставляя сюда вместо a₁ и b₁ соответственно числа 1,8 и 1,5 и

округляя полученный результат,найдем: а₂ =1,74; b₂ =1,71.

             Поскольку нам нужно вычислитькорень с точностью до 0,0001,

а полученные результаты для а₂ и b₂совпадают лишь в цифре деся­тых долей,

то нужно находить новыеприближения а₃ и b₃:

             Отсюда можно заключить, что х₁ » 1,7320 (± 0,0001).

    Замечания.

                1. При приближенном вычислениидействитель­ных корней методом

касательных и хорд в качестве подсобного сред­ства,облегчающего вычисления,

могут быть использованы «Таблицы значений многочленов»Иванова К. П.

                2. Иногда бывает полезно цифрудесятых долей корня вычислить

методом Руффини-Горнера, а затем уточнять кореньметодом каса­тельных и хорд.

 

             Ответ:   х₁ » 1,7320 (± 0,0001).