|
Образцы решений основных задач
§ 3. Многочлены над числовыми полями
- Задача 33. Отыщите
рациональные корни многочлена
- f(x). А)
f(х)
=х4 + х3 –11х2 – 5х + 30.
-
- Решение.
-
- Известно, что если многочлен f(x)
с целыми коэффициентами
имеет
- старший коэффициент 1, то он дробных рациональных корней не имеет.
- Следовательно, все его рациональные корни должны быть целыми числами.
- Известнотакже, что целые корни многочлена целыми коэффициентами
- находятся средиделителей свободного члена. В нашем случае делителями
- свободного члена (30)являются следующие числа:
-
±1, ±2,
±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30.
- Теперь можно было бы каждое изэтих 16 чисел проверить
- подстановкой в многочлен или по схеме Горнера. Однакомногие из этих
- чисел можно «отсеять» более простым путем. Найдем границыдействительных
- корней данного многочлена: ВГх = 1 +
< 5; НГх
= –12.
- Следовательно, действительные и, в частности, рациональныекорни
- данного многочлена содержатся в промежутке (–12; 5).
- Поэтому остается проверить
следующие 9 чисел:
-
±1, ±2,
±3, –5, –6, –10.
- Воспользуемся еще тем, что если a ¹ ±1 – целый корень
- многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то числа
-
– целые.
- В нашем случае f(1) = 16; f(–1) =24. Отсюда видно, 1 и –1 не
- являются корнями f(x). Теперь проверим, для каких из оставшихся семи
- чисел a числа
и являются целыми.
- Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

- (Здесь буквы ци д означают соответственно целым или дробным
- является число
или .) Из таблицы видно, что корни
- данного многочлена следуетискать среди чисел 2, 3, –3.
- Теперь, пользуясь схемой Горнера, проверим, будет ли каждое
- из этих чисел корнем многочлена.

- Так как остаток
от деления f(x) на х – 2 оказалсяравным нулю,
- то 2 – корень f(x). Проверим, не является ли 2 двукратным корнем, для
- чего полученноеот деления частное q(х) = х3 + 3х2 – 5х – 15
- снова разделим
на х – 2:

- Здесь остаток равен –5 ¹ 0; следовательно, число 2является простым
- корнем многочлена f(x). Теперь проверим число 3.Здесь можно на х – 3
- делить не f(x), а q(x):

- Из таблицы видно, что q(3) = 24 ¹ 0. Следовательно, число 3 не является
- корнем q(x), а значит, и f(x). Осталось проверить число –3.

- Число –3 –
корень многочлена q(x), а следовательно, и многочлена f(x).
- При этом свободный член частного q1(х)=х2 – 5 не делится на –3 и, значит,
- –3его корнем не является, т. е. –3 есть простой корень данного многочлена.
- Итак, многочлен f(x) имеет два рациональных корня: x1 =2 и х2 = –3,
- причем
- f(x)
= (х – 2)(х + 3)(х2
– 5).
- Теперь можно найти и два
остальных корня f(x): х3,4 = ±
. Они
- иррациональны.
- Б) f(x) = 4x5 + 12x4 +
x3 + 6x2 + 10x +
3.
-
- Решение.
- Здесь старший коэффициент f(x) отличен от 1. Следовательно,
- многочленможет иметь как целые, так и дробные рациональные корни
- (хотя с тем же успехомможет и не иметь ни тех, ни других). Их отыскание
- можно свести к отысканиюцелых корней некоторого нового многочлена,
- который получается из f(x) следующим образом. Умножим многочлен f(x)
- на 23 = 8 и сделаем подстановку
2х = у. Получиммногочлен который не имеет
- дробных корней. Найдя его целые корни (тем жеспособом, что и в предыдущей
- задаче) и разделив их на 2(так как
), получим все рациональные корни
- данного многочлена.
- Однако такое сведение необязательно. Можно находить сразу
- все рациональные корни данного многочлена,если воспользоваться
- следующей теоремой:
- «Если дробь – является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами,
- то
является делителем
свободного члена, a q – делителем
- старшего коэффициента многочлена f(x).»
-
- Следовательно, корни нашего многочлена следует искать средичисел
-

-
- Для сокращения числа испытаний
найдем границы корней многочлена
- f(x). Замечаем, что все коэффициенты его положительны, а потому
- положительных корней он не имеет, т. е. ВГ = 0. Теперь найдем нижнюю
- границу

- Таким образом, корни данного многочлена
- находятся впромежутке (–4; 0), и, следовательно, осталось испытать числа
-

- Используем еще
тот факт, что если дробь
является корнем многочлена
- f(x), то
и – целые числа. Проверим это
условие для чисел
- (1), учитывая, что f(1) = 36, f(–1)
= 6. Результаты запишем в таблицу.

Итак, корнями
многочлена f(x) могут быть лишь числа –3
и . Проверим каждое из этих чисел по схеме Горнера.

Таким образом,
многочлен f(x) имеет рациональные корни
x1 = –3, , (корень (–3)является простым,
ибо от деления f(x)
на х + 3 имеет свободный член 1, не делящийся на
(–3)), причем

Ответ: 
|