Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

               Задача 34.Пользуясь критерием Эйзенштейна, докажите

неприводимость над полем рациональныхчисел Q следующих

многочленов: А) f(x) = 5х⁴ + 12х³ – 24х² + 30х – 12;

          Б) f(x) = х⁵ + 5х + 9.

 

    Решение.

              А) При р = 3 старший коэффициент многочлена f(x) не делится на 3,

все остальные коэффициенты на 3 делятся, а свободный член, делясь на 3,

неделится на 3². Следовательно, применяя критерий Эйзенштейна к

многочлену f(x) при р = 3 заключаем, что многочлен f(x) неприводим в

кольце Q[x].

              Б) К многочлену f(x) = х⁵+ 5х + 9 критерий Эйзенштейна

непосредственноприменить нельзя, так как нельзя подобрать такого

простого числа р, на котороеодновременно бы делились 5 и 9. Но мы

можем положить х = у + 1 и тогда получим:

f (y + 1) = j(y) = у⁵ + 5у⁴ + 10у³ + 10у² + 10у + 15.

Теперь же требования критерия Эйзенштейна выполняются при  р = 5.

              Следовательно j(y) и, тем самым, исходный многочлен f(x),

неприводимы над полем рациональных чисел Q.