|
Образцы решений основных задач
§ 3. Многочлены над числовыми полями
- Задача 35. Разложите указанные многочлены на неприводимые
- множители над полями С, R и Q,
- А) f(x) = х5
+ 5х3 – 6х2;
- Б) g(x) = 3х6
+ 12х4 – 96х2;
- В) h(x) = х4
+ 4х3 – 2х2 – 4х + 1.
-
- Решение.
- А) f(x) = х5
+ 5х3 – 6х2 = х2(х3 + 5х + 6) =х2(х3
– х2 + х2 – х + 6х – 6) =
- = х2((х3 – х2) + (х2
– х) + (6х – 6)) = х2(х2(х – 1) + х(х – 1) + 6(х – 1))=
- = х2(х – 1) (х2 + х + 6) – это
разложение многочлена f(x) на неприводимые
- множители над полем Q и R.
- Теперь
находим корни трехчлена (х2+ х + 6). Вычисляем
- дискриминант.
- D = 12 – 4 × 1 × 6 = 1 – 24 = –23.
- Отсюда
получаем:


-

- Следовательно,
.
-
- Таким образом, разложение многочлена f(x) на неприводимые множители
- над полем С имеет вид:
.
- Б)
- g(x) = 3х6 + 12х4 – 96х2
= 3х2(х4 + 4х2 – 32) = 3х2(х4
– 4х2 + 8х2 – 32) =
- = 3х2((х4 –
4х2) + (8х2 – 32)) = 3х2((х2(х2
– 4) + 8(х2 – 4)) = 3х2((х2 – 4) (х2+
8) =
- = 3х2((х2 + 2)(х – 2) (х2 +
8) – это разложение многочлена на g(x) на
- неприводимые множители над полем Q и R.
-
- Теперь имея
-

-
- , получаем разложение многочлена g(x) нанеприводимые множители над
- полем G.
-

-
- В)
- h(x) = х4 + 4х3 – 2х2 –
4х + 1.
-
- Сразу
отмечаем, что h(x) является многочленом с целыми
- коэффициентами и,используя теорему о рациональных корнях многочлена,
- устанавливаем, что х = 1 –один из корней этого многочлена.
- Тогда
получаем: х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×g(x).
- Коэффициента частного g(x) находим,
например, по схеме Горнера:

- Значит, х4 + 4х3 – 2х2
– 4х + 1 = (х – 1)×(х3 + 5х2 + 3х – 1).
- Аналогично замечаем, что х3 + 5х2
+ 3х – 1 обращается в нуль при
- х = –1.
- Следовательно,
х4 + 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)×f(x) .
- Коэффициенты частного снова находим по схеме Горнера:

- Отсюда получаем:
- h(x) = х4
+ 4х3 – 2х2 – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)× (х2+ 4х – 1) –
- это есть разложениемногочлена h(x) на неприводимые множители над полем Q.
- Поскольку 2х2
+ 4х – 1=х2 + 4х + 4 – 5 = (х + 2)2 – 5 =
, то получаем
- разложение многочлена h(x) на неприводимые
множители над полями R и С:
- h(x) = х4
+ 4х3 – 2х2 – 4х + 1=(х – 1)×( х + 1)×
.
-
|