Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 35. Разложите указанные многочлены на неприводимые

множители над полями С, R и Q,

               А) f(x) = х⁵ + 5х³ – 6х²;

               Б) g(x) = 3х⁶ + 12х⁴ – 96х²;

               В) h(x) = х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1.

 

              Решение.

А) f(x) = х⁵ + 5х³ – 6х² = х²(х³ + 5х + 6) =х²(х³ – х² + х² – х + 6х – 6) =

= х²((х³ – х²) + (х² – х) + (6х – 6)) = х²(х²(х – 1) + х(х – 1) + 6(х – 1))=

= х²(х – 1) (х² + х + 6) – это разложение многочлена f(x)  на неприводимые

множители над полем Q и R.

              Теперь находим корни трехчлена (х²+ х + 6). Вычисляем

дискриминант.

               D = 1² – 4 × 1 × 6 = 1 – 24 = –23.

              Отсюда получаем:

 

Следовательно,.

 

Таким образом, разложение многочлена f(x) на неприводимые множители

над полем С имеет вид:

.

             Б)

g(x) = 3х⁶ + 12х⁴ – 96х² = 3х²(х⁴ + 4х² – 32) = 3х²(х⁴ – 4х² + 8х² – 32) =

= 3х²⁽(х⁴ – 4х²) + (8х² – 32)) = 3х²⁽(х²(х² – 4) + 8(х² – 4)) = 3х²⁽(х² – 4) (х²+ 8) =

= 3х²⁽(х² + 2)(х – 2) (х² + 8) – это разложение многочлена на g(x) на

неприводимые множители над полем Q и R.

 

Теперь имея

 

 

, получаем разложение многочлена g(x) нанеприводимые множители над

полем G.

 

 

             В)

h(x) = х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1.

 

              Сразу отмечаем, что h(x) является многочленом с целыми

коэффициентами и,используя теорему о рациональных корнях многочлена,

устанавливаем, что х = 1 –один из корней этого многочлена.

              Тогда получаем: х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1 = (х – 1)×g(x).

Коэффициента частного g(x) находим, например, по схеме Горнера:

Значит, х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1 = (х – 1)×(х³ + 5х² + 3х – 1).

Аналогично замечаем, что х³ + 5х² + 3х – 1 обращается в нуль при

х = –1.

             Следовательно, х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)×f(x) .

Коэффициенты частного снова находим по схеме Горнера:

Отсюда получаем:

h(x) = х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1 = (х – 1)×( х + 1)× (х²+ 4х – 1) –

это есть разложениемногочлена h(x) на неприводимые множители над полем Q.

Поскольку 2х² + 4х – 1=х² + 4х + 4 – 5 = (х + 2)² – 5 = , то получаем

разложение многочлена h(x) на неприводимые множители над полями R и С:

h(x) = х⁴ + 4х³ – 2х² – 4х + 1=(х – 1)×( х + 1)× .