Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 36. Решите кубическое уравнение х³ +6х² +6х– 13 = 0.

 

              Решение.

              Воспользуемся методом Кордано. Сначала произведем подстановку:

(исходим из общего вида кубического уравнения

х³ + ах² + bх + с = 0). Цель этой подстановки - избавиться от члена,

содержащего переменную х².

              Получаем:

(у – 2)³ + 6(у – 2)² + 6(у – 2)– 13 = 0,

или

у³ – 6у² + 12у – 8 + 6у² – 24у + 24 + 6у + 12 – 13 = 0,

или

у³ – 6у – 9 = 0 (где х = у – 2).

              Отсюда находим , исходя из того, что

х³ + рх + q = 0:

 

              Значит, a₁ = 2 и тогда, согласно теории

              И тогда по формулам

у₁ = a₁ + b₁

получаем:

у₁ = 2 + 1 = 3,

Учитывая подстановку х = у – 2, получаем окончательно:

х₁ = 3 – 2 = 1,

             Ответ.  {1;  }.