Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 37.Решите методом Феррари уравнение четвертой

степени х⁴ – 2х³ + 5х² + 6х + 9 = 0.

 

             Решение.

 

             Перенесем в правую частьуравнения последние три его члена,

получим

х⁴ + 2х³ = 5х² – 6х – 9.

             Выделим полный квадрат в левой части уравнения:

(х²)² + 2 × х² × х + х² – х² = –5х² – 6х – 9,

или (х² + х)² = –4х² – 6х – 9.

             Введемвспомогательную переменную у таким образом,

чтобы левая часть уравнения приэтом оставалась полным квадратом:

 (х² + х)² + 2 × (х² + х)×у  + у² – 2(х² + х)× у – у² = –4х² – 6х – 9,

или  (х² + х + у)² = 2 × (х² + х)×у  + у² – 4х² – 6х – 9,

или (х² + х + у)² = 2х²у + 2ху  + у² – 4х² – 6х – 9,

или (х² + х + у²)² = (2у – 4)х² + (2у – 6)х + у – 9.  (1)

             Подберемзначение переменной у таким образом, чтобы и правая

часть стала полнымквадратом.

             Так как правая часть относительно переменной х имеет вид

Ах² + Вх + С = 0,

то правая часть будет полным квадратом при условии В² – 4АС = 0.

             В нашем случае В = 2у – 6, А = 2у – 4, С = у² – 9. Отсюда получаем:

(2у – 6)² – 4×(2у – 4)(у² – 9) = 0,

или (2(у – 3))² – 4 × 2(у – 2)(у + 3)(у – 3) = 0,

или (у – 3) × [2(у – 2) – 8 × (у – 2)(у + 3)] = 0.

              

(х² + х + 3)² = 2х².

             Оноравносильно совокупности двух квадратных

уравнений

             Решаяэти квадратные уравнения, получаем все четыре корня

исходного уравнения:

 

             Ответ: {}.