Образцы решений основных задач

§ 3. Многочлены над числовыми полями

                Задача 38.Определите количество действительных корней

многочленов :  А) f(x) = х³ – 6х – 9;Б) g(x) = х³ – 12х + 16;

                          В) h(x) = х³ – 19х + 30.

               Решение.

               В кубическом уравнении х³ +px + q= 0

выражение  называется дискриминантом.

Доказано, что

               1) если D = 0, то уравнение х³ +px + q= 0 имеет два действительных

корня, из которых один двукратный;

               2) если D > 0, то уравнение х³ +px + q = 0 имеет один действительный

корень;

               3) если D < 0, то уравнение х³ +px + q = 0 имеет три действительных

корня.

               В нашем случае имеем следующие варианты.

               А) здесь р = –6, q = –9, поэтому

, следовательно, многочлен f(x)  

имеет один действительныйкорень.

               Б) здесь р = –12, q = 16, поэтому

следовательно, многочлен g(x) имеет двадействительных

корня, из которых один двукратный.

               В) здесь р = –19, q = 30 поэтому

следовательно, многочлен h(x) имеет три

действительных корня.

               Случай В) является особенным тем, что формула Кордано к

многочлену h(x) неприменима (корнями h(x) являются действительные числа

2, 3 и (–5)). Этотслучай в алгебре называется неприводимым(не

смешивать с неприводимостью многочленов).

              

                 Ответ:    

А) один действительный корень;

Б) два действительных корня, один из которых двукратный;

В) три действительных корня.

 

               Замечание. Если дано полное кубическое уравнение 

у³ + ау² + by + с = 0, то с помощью подстановки  

его нужнопредварительно привести к виду х³ +px + q = 0, а затем уж

воспользоваться дискриминантом.