practica

Образцы решений основных задач

§ 4. Многочлены от нескольких переменных

Задача 43. Составьтеквадратное уравнение, корнями
которого являются кубы корней многочлена f(x) = х² + 13х + 48.

Решение.

Обозначим корни данного многочлена f(x) через х₁ и х₂. Если искомое квадратное уравнение записать в виде х² + ах + b = 0, то по теореме Виета мы имеем

Рассматривая выражения

как

многочлены от переменных х₁ и х₂, выразим их через элементарные симметрические многочлены:


.
Если теперь переменным х₁ и х₂придатьзначения корней данного уравнения,
то получим:
s₁ = х₁ + х₂ = –13,
s₂ = х₁ × х₂ = 48.
Отсюда и получаем:

Таким образом, получаем квадратное уравнение:
х²– 4069х + 110592 = 0.

Ответ: х²– 4069х + 110592 = 0.