1.2.1 Геометрический метод сложения сил

 

Силы называют сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке.

Различают плоскую систему сходящихся сил, когда линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости, и пространственную систему сходящихся сил, когда линии действия сил лежат в разных плоскостях. На основании следствия из третьей аксиомы, силу можно переносить по линии ее действия. Поэтому сходящиеся силы всегда можно перенести в одну точку — в точку пересечения их линий действия. Выполнив перенос , получим четыре силы:F1,F2,F3,F4 , приложенные к точке С. Для определения их равнодействующей сложим последовательнов все данные силы, используя правило треугольника.

Находим частичные равнодействующие:

И, наконец, сложив все силы, определяем полную равнодействуюшую:

Промежуточные векторы можно не строить, а последовательно, в указанном выше порядке одну за другой отложить все заданные силы и начало первой соединить с концом последней. Фигура OABCD называется силовым многоугольником. Замыкающая сторона этого многоугольника представляет собой равнодействующую заданной системы сил, равную их геометрической сумме. Необходимо обратить внимание на то, что равнодействующая сила всегда направлена от начала первого слагаемого к концу последнего слагаемого. Иными словами, стрелка равнодействующей силы всегда направлена навстречу обхода многоугольника, соответствующему последовательному сложению заданных сил.

Когда при построении силового многоугольника конец последней слагаемой силы совместится с началом первой, равнодействующая F2 системы сходящихся сил окажется равной нулю. В этом случае система сходящихся сил находится в равновесии.

Самозамыкание силового многоугольника данной системы сходящихся сил является геометрическим условием ее равновесия.

1.2.2 Проекция силы на ось

 

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников в большинстве случаев сопряжено с громоздкими построениями. Более общим и универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси.
Проекция вектора считается отрицательной (—), если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:

Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Силу, расположенную на плоскости хОу (рис.13), можно спроектировать на две координатные оси Ох и Оу. На рисунке изображена сила F и ее проекции Fx, Fу. Ввиду того, что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника АСВ следует

: .

Этими формулами можно пользоваться для определения модуля и направления силы, когда известны ее проекции на координатные оси.

1.2.3 Проекция векторной суммы на ось

 

 

Рассмотрим сходящиеся силы F1,F2,F3,F4.Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил определяется замыкающей стороной силового многоугольника.

. Опустим из вершин силового многоугольника на ось х перпендикуляры. Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем:

где n — число слагаемых векторов.

Итак, проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической cумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве — соответственно на три.

1.2.4 Аналитическое определение значения и направления равнодейсвующей плоской системы сходящихся сил(метод проекций)

 

В системе сходящихся сил равнодействующая может быть найдена через проекции составляющих. Рассмотрим ее определение на примере системы F1,F2,F3,F4 сил , изображенной на рисунке. Равнодействующая этих сходящихся сил построена на рисунке:

Проектируя все силы на оси Ох и Оу и испвльзуя теорему о проекции векторной суммы, получает:

Численное значение равнодействующей силы через ее проекции определяется по формуле

Получаем:

Направление определим по косинусам углов, которые эта сила образует с координатными осями:

1.2.5 Уравнения плоской системы сходящихс сил

Сходящаяся система сил находится в равновесии в случае замкнутости силового многоугольника. Равнодействующая при этом равна нулю ( = 0). Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны суммам проекций составляющих сил на те же оси:

Оба слагаемых, стоящих под знаком корня, во всех случаях положительны как величины, возведенные в квадрат. Поэтому =0 только при выполнении условий:

Рассматриваемая система сходящихся сил находится в равновесии, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Эти зависимости называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.

Предыдущий раздел

Главная Содержание

Следующий раздел