|
|
|
|
Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку,не лежащую на линии действия силы.
Возьмем силу F, приложенную в точке С. Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О. Приложимв точке О две силы F' и F", противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе F, т. е. F' = F" = F. От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы F', приложенной в точке О, и пары сил FF" с моментом М = Fa. Эту пару сил называют присоединенной, а ее плечо а равно плечу силы F относительно точки О. Таким образом, при приведении силы F к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила F, и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения: В качестве примера приведения силы рассмотрим действие силы F на конец С защемленного стержня (рис.28,б). После приведения силы F в точку О защемленного сечения обнаруживаем в нем силу F1 равную и параллельную заданной, и присоединенный момент М, равный моменту заданной силы F относительно точки приведения О,
Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F1,F2,F3,F4. Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу F1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы F1' и F1'', параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы F1 получим силу F1' , приложенную в точке О, и пару сил F1' F1'' с плечом a1. Поступив таким же образом с силой F2 , приложенной в точке В, получим силу F2', приложенную в точке О, и пару сил с плечом a2 т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами F1,F2,F3,F4 , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О: Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой F'гл, равной геометрической сумме составляющих, Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают F'гл . На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента). Необходимо усвоить, что главный вектор F'гл является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе F'гл. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента Mгл зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты. Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил: Можно доказать, что в общем случае, когда , всегда есть точка, относительно которой главный момент сил равен нулю. Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т. е. заменена главным вектором Расположим пару сил
В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F'гл и к главному моменту Mгл относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О: Было показано, что можно выбрать центр приведения, относительно которого главный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из предыдущих уравнений находим . Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки. Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.
Плоская система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Поэтому условия равновесия сил на плоскости, как показано выше, имеют вид: Итак, для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нилю. Главный вектор F'гл представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Модуль главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы. Применив для сумм проекций всех сил на оси х и у обозначения Главный вектор равен нулю, если оба слагаемых под корнем равны нулю, т. е.
Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю, т. е, В дальнейшем для упрощения записи уравнений равновесия при решении задач будем опускать индексы у сумм. Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая (основная форма этих уравнений) выведена выше: Три уравнения равновесия для плоской системы сил соответствует трем возможным степеням подвижности тела в плоскости — двум перемещениям вдоль осей х и у и вращению вокруг произвольной точки плоскости. При решении многих задач рациональнее пользоваться другими формами уравнений равновесия. Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то можно, выбрав три произвольные точки А, В, С и приравняв нулю сумму моментов относительно каждой из них, получить три следующих уравнения равновесия:
Это вторая форма уравнений равновесия. Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой. Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х: При пользовании этой формой уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В. Для системы параллельных сил, выбрав одну из осей проекций, параллельной этим силам, а другую — перпендикулярной к ним, получим два уравнения равновесия (рис.35).
Первая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примет вид:
При этом первое уравнение равновесия можно трактовать как равенство нулю алгебраической суммы всех заданных параллельных сил, так как на параллельную ось они проектируются в натуральную величину. Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид: Итак, для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы параллельных сил — только два. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил — не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.
Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы,называемые балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий. Применяются следующие виды опор:
Такая опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. В этой опоре известны точка приложения опорной реакции — центр шарнира и ее направление — перпендикуляр к опорной плоскости. Здесь остается неизвестным числовое значение опорной реакции RA. Условное изображение опоры показано на рис.a.
Следует отметить, что опорная поверхность шарнирно-подвижной опоры может быть непараллельна оси балки (рис.б). Реакция RA в этом случае не будет перпендикулярна оси балки, так как она перпендикулярна опорной поверхности.
Эта опора допускает поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точка приложения опорной реакции — центр шарнира; направлениеи значение опорной реакции неизвестны. Обычно вместо определения значения и направления (полной)реакции RA находят ее составляющие RAx и RAy.
Такая опора не допускает ни линейных перемещений, ни поворота.Неизвестными в данном случае являются не только значение и направление реакции, но и точка ее приложения. Поэтому жесткую заделку заменяют силой реакции RA и парой сил с моментом MA. Для определения опорной реакции следует найти три неизвестных: составляющие RAx и RAy опорной реакции по осям координат и реактивный момент MA.
|
|||||
— общий случай; система приводится главному вектору и к главному моменту. 
; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы. 
; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту. 
; система находится в равновесии, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю. 
, приложенным в точке О, и главным моментом 
. Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т. е.
. Изобразим этот главный момент парой сил FF", модуль которых выберем равным модулю главного вектора , т. е.
. Одну из сил, составляющих пару, приложим в центре приведения О, другую силу в точке С, положение которой определится из условия:
. Следовательно 
.
так, чтобы сила F'' была направлена в сторону, противоположную главному вектору F'
. 
относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы F равно 
, получаем 
. 
получим для значения главного вектора выражение
