|
|
|
|
Элементы конструкций, работающих на изгиб, называют балками. Чаще всего встречается поперечный изгиб, когда внешние силы, перпендикулярные к продольной оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей ее поперечного сечения, в частности, в плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии балки, например, сила F 
на рис.87,а. Такой изгиб называют прямым. Если же силы, вызывающие деформацию изгиба, действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не проходящей через одну из главных центральных осей ее поперечного сечения, имеет место косой изгиб (рис.87,б). В поперечных сечениях балок при изгибе возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. Однако возможен такой частный случай, когда в поперечных сечениях балки возникает только один силовой фактор — изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю. В этом случае изгиб называют чистым. Он возникает, в частности, когда балка изгибается двумя противоположно направленными парами сил, приложенными к ее торцам (рис.87,в). Чистый изгиб возникает при некоторых нагружениях сосредоточенными силами или распределенной нагрузкой.
Определим внутренние силовые факторы в сечениях балки АВ (рис,89,а), на которую действуют сосредоточенные силы 
Согласно закону равенства действия и противодействия, внутренние силы по сечению С для левой и правой частей одинаковы, но направлены в противоположные стороны. Внутренние силы в любом сечении балки могут быть заменены силой Q и парой сил с моментом М. Сила Q называется поперечной силой, а момент М — изгибающим моментом в поперечном сечении балки. Для сил, действующих на левую отсеченную часть балки (рис.89,б), составим уравнение равновесия. Уравнение проекций на вертикальную ось у (рис.89,б): 
Решив первое из этих уравнений относительно Q, а второе относительно М, получим: 
Итак, величины поперечной силы и изгибающего момента в любом поперечном сечении балки могут быть определены по известным внешним силам, действующим на балку. Поперечная сила в каком - либо поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент — алгебраической сумме моментов сил, взятых относительно центра тяжести сечения. Поперечная сила Q и момент пары М действуют на сечение левой и правой отсеченных частей балки в противоположных направлениях (рис.89,б). Чтобы при вычислении изгибающего момента М и поперечной силы Q в каком-либо поперечном сечении балки по внешним силам, действующим слева или справа от этого сечения, получить значения, одинаковые не только по величине, но и по знаку, следует установить противоположные правила знаков для сил и их моментов слева и справа от сечения. Установим правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил. 
Когда внешняя сила, расположенная слева от сечения, вращает относительно центра тяжести сечения по ходу часовой стрелки, то изгибающий момент считают положительным (рис.90,а). При противоположном направлении изгибающий момент считают отрицательным (рис.90,б). Для поперечной силы знак также связан с характером деформации. Когда внешние силы действуют слева от сечения вверх, а справа — вниз, поперечная сила положительна (рис.90,в). При противоположном действии внешних сил, т. е. слева от сечения вниз, а справа — вверх, поперечная сила отрицательная (рис.90,г). Внутренние силовые факторы в сечениях балок — поперечная сила Q и изгибающий момент М — зависят от внешней нагрузки и изменяются по длине балки. Законы их изменения представляются некоторым уравнениями, где аргументами являются координаты z поперечных сечений балки, а функциями — Q или М. Эти уравнения удобно представлять в виде эпюр, ординаты которых для любых значений абсциссы z дают соответствующие значения изгибающего момента М или поперечной силы Q. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил строятся аналогично эпюрам продольных сил и крутящих моментов. При построении эпюр положительные значения поперечных сил и моментов откладывают вверх от оси, отрицательные — вниз; ось (или базу) эпюры проводят параллельно оси балки.
На основе примеров, разобранных в предыдущей теме, можно сделать выводы о взаимосвязи между нагрузкой и очертаниями эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Ниже эти выводы сформулированы следующим образом: 1. На участках, где изгибающий момент постоянен (чистый изгиб, см.рис.1), поперечная сила равна нулю.
2. На участках, свободных от загружения равномерно-распределенной нагрузкой, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону, т. е. по прямой.(см.рис.2,3)  
3. На участках, загруженных равномерно-распределенной нагрузкой, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент по параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (см.рис.4,5).  
4. В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре поперечных сил имеют место скачки, равные по величине силам, а на эпюре моментов — переломы, направленные навстречу силам (см.рис.2,3). 5. В точках приложения сосредоточенных пар сил на эпюре моментов возникают скачки, равные величинам пар (см.рис.6). 
6. В точках, где поперечная сила равна нулю (Q = 0), значение момента принимает экстремальное значение — максимальное или минимальное на рассматриваемом участке. Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнозагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка. Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения); а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой. Для определения максимальных значений изгибающих моментов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение эпюр без составления уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагружения. Изложенные в настоящем параграфе правила должны служить основным способом построения эпюр, так как трудоемкость вычислений при этом меньше по сравнению с построением эпюр по уравнениям.
Нанесем на боковую поверхность балки, испытывающей чистый изгиб (рис.1,а), продольную линию ОО1 на половине высоты и ряд поперечных параллельных между собой линий. При нагружении двумя противоположно направленными парами сил, действующими в продольной плоскости симметрии (рис.1,б), балка деформируется — изогнется выпуклостью вниз. Линии на боковой поверхности балки останутся прямыми, но параллельность их нарушится. Расстояния, между концами этих линий на выпуклой стороне увеличатся, а на вогнутой уменьшатся. Расстояния между этими линиями на половине высоты балки останутся такими же, как до деформации. Из этого можно заключить, что при изгибе продольные волокна балки на выпуклой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются; слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искривившись, неизменную длину. Растягивающие и сжимающие напряжения в поперечных сечениях балки соответствуют удлинению и укорочению ее продольных волокон. Слой, длина которого не изменяется при изгибе, не испытывает напряжений и называется нейтральным слоем. Итак, при изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются одно относительно другого вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. Каждое поперечное сечение поворачивается вокруг линии его пересечения с нейтральным слоем. Эта линия называется нейтральной осью поперечного сечения. Высказанное положение носит название гипотезы плоских сечений. Деформации волокон не зависят от положения волокон по ширине балки. Следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются одинаковыми по ширине балки. Исходя из этих гипотез, найдем величину удлинения какого-либо волокна балки при чистом изгибе. 
 . Радиус кривизны нейтрального слоя балки, или ее изогнутой оси,
обозначим р, а длину волокна, лежащего в нейтральном слое между рассматриваемыми сечениями, - l.
Координату у условимся считать положительной в сторону выпуклости и отрицательной в сторону вогнутости.
Удлинение рассматриваемого волокна  , а относительное удлинение
(продольная деформация):
Выражая длины дуг l и l1 через соответствующие радиусы и центральный угол 
Подставив эти значения, получим: 
Зная относительное удлинение, можно применить закон Гука для линейной деформации и выразить нормальное напряжение: 
Эта зависимость определяет линейный закон распределения нормальных напряжений по сечению
балки (рис.3). По ширине балки (при определенном у) напряжения постоянны. Наибольшего значения нормальные напряжения
достигают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, причем со стороны выпуклости балки эти
напряжения растягивающие После того как установлен закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при
чистом изгибе, можно перейти к определению напряжений в зависимости от изгибающего момента в этом сечении.
Мысленно рассечем балку некоторым поперечным сечением и выделим в нем произвольную элементарную площадку dA
на расстоянии у от нейтральной оси х (рис.3). Напряжение по этой площадке составит 
Так как внутренние силы при чистом изгибе приводятся только к изгибающему моменту, то, интегрируя их по сечению, получаем: 
Рассмотрим первое уравнение равновесия 
представляет собой статический момент сечения относительно оси х.
Отношение E/р при изгибе балки не может быть равным нулю, так как Е <> 0 и р <> 0 (ось балки не прямая),
поэтому из выражения Рассмотрим второе уравнение равновесия Входящий в эту формулу интеграл представляет собой осевой момент инерции Jx поперечного сечения балки относительно нейтральной оси х. Вводя это обозначение, можем представить последнее выражение в виде: 
Величина, обратная радиусу кривизны в какой-либо точке кривой, называется ее кривизной. Следовательно,
формула Жесткость сечения пропорциональна модулю упругости Е и осевому моменту инерции Jх; иными словами, она определяется материалом, формой и размерами поперечного сечения. После подстановки полученного для 1/р значения в формулу 
Если нейтральная ось сечения совпадает с осью симметрии, то Отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтральной оси волокон симметричного сечения называют осевым моментом сопротивления: 
Наибольшее по абсолютному значению нормальное напряжение в симметричном сечении (растягивающее или сжимающее) может быть определено по формуле: 
Формула
Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из следующего условия: наибольшие
нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых напряжений Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид 
Для балок, изготовленных из материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (например, из чугуна), выгодны сечения, несимметричные относительно, нейтральной оси. В этом случае прочность по нормальным напряжениям проверяют по формулам: 
 — допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.
Использование материала будет наилучшим, когда 
Формула напряжений при изгибе выведена на основании закона Гука и потому справедлива только при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала балки. С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи: 1. Проверка прочности (проверочный расчет) производится в том случае, когда известны размеры
сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение 2. Подбор сечения (проектный расчет) производится в том случае, когда заданы действующие на балку
нагрузки, т. е. можно определить наибольший изгибающий момент |М|mах и допускаемое напряжение 3. Определение наибольшего допускаемого изгибающего момента производится в том случае, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение: 
Наиболее выгодны такие формы сечений, которые дают наибольший момент сопротивления при наименьшей площади. Такому условию в первую очередь удовлетворяет двутавровое сечение, у которого почти весь материал отнесен от нейтральной оси к верхней и нижней полкам, что увеличивает момент инерции Jx, а соответственно и момент сопротивления Wx. Менее выгодно прямоугольное сечение; круглое сечение еще менее выгодно, так как оно расширяется к нейтральной оси. Полые сечения всегда выгоднее равновеликих им сплошных сечений. Целесообразно применять сечения балок из прокатных профилей: двутавров, швеллеров и т. п. В сортаменте для этих профилей приводятся числовые значения всех необходимых геометрических характеристик.
Сечения изгибаемой балки перемещаются перпендикулярна к оси балки и поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Балки, удовлетворяя условию прочности, должны обладать достаточной жесткостью, т. е. прогибы и углы поворота сечений не должны превышать допускаемой величины. Допускаемый прогиб балок, применяемых в строительных конструкциях и машиностроении, очень невелик; обычно он назначается в долях от пролета между опорами балки и составляет 1/200—1/1000 пролета (в зависимости от назначения балки). Прогибы и углы поворота для некоторых простейших случаев нагружения балок даны в табл. 3.
Прогибы считаются отрицательными, когда они направлены вниз, противоположно положительному направлению вертикальной оси у. Углы поворота сечений приняты положительными в том случае, если они направлены по часовой стрелке, и отрицательными, если направлены против часовой стрелки.
|
|||||
, а со стороны вогнутости — сжимающие
. В точках нейтральной оси х (при у = 0)
напряжения равны нулю.
Элементарная сила, действующая на площадку,
;
,
где h — высота сечения.
на растяжение и сжатие, установленных нормами или опытом проектирования для материала балки.
;
для этого необходимо условие