Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что c² = a² + b².
Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке б. Площадь S этого квадрата равна (а + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна
, и квадрата со стороной с, поэтому
.
Таким образом, (a + b)² = 2ab + c², откуда
Теорема доказана.