Линейная алгебра

О. Матрица Amxn=(aij) или

Виды матриц:
  1. Прямоугольная m≠n.
  2. квадратная m=n.
  3. Матрица строка m=1.
  4. Матрица столбец n=1.
  5. Диагональна(D) m=n;aij=0; i m≠n j.
  6. Единичная (E) m=n;i=j → aij=1; если i m≠n j → aij=0.
  7. Треугольная m=n;aij=0 если i>j или (i
  8. Трапециивидная:




О. Определитель - это числовая характеристика квадратной матрицы, т.е. число
где Aij - алгебраическое дополнение к элементам
Mij - минор - определитель,полученный из |A| путём вычерчивания i-ой строки, j-го столбца
Частные случаи




разложение det по элементам первой строки.
T. Det (AB)=detA × detB
Свойства операций.
Операции над матрицами
  1. A+B=B+A.
  2. (A+B)+C=A+(B+C).
  3. A+(0)=A.
  4. A+(-A)=0.
  5. λA=Aλ.
  6. λ(A+B)=λA+λB.
  7. (α+β)A=αA+βA.
  8. AB≠BA.
  9. A(B+C)=AB+AC.
  10. (AB)C=A(BC).
  11. Если AB=BA, то матрицы коммутативные.
 Обраная матрица


Ранг матрицы (r)
  1. порядок наивысшего минора, отличного от 0;
  2. число не нулевых диагональных элементов трапециевидной матрицы.
Элементарные преобразования:
  1. Ряд × λ.
  2. Ряд + Ряд × λ.
  3. перестановка параллельных рядов.
  4. Вычёркивание одной из двух строк с пропорциональными элементами.
  5. вычёркивание нулевой строки.
Т. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.