Линейные операторы (Л.О.)

над полем P, есть линейный оператор, если
1) для любых векторов
2) для любого вектора и любого .
1) Матрица линейного оператора:
Пусть φ-Л.О. векторного пространства V над полем P и один из базисов V:

Пусть

Тогда матрица Л.О.φ:

2) Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах:

M(φ) - матрица Л.О. φ в старом базисе.
M1(φ) - матрица Л.О. φ в новом базисе.
Т - матрица перехода от старшего базиса к новому базису.
2)Действия над линейными операторами:
Пусть φ и f - различные Л.О. векторного пространства V.
Тогда φ+f - сумма линейных операторов φ и f.
k·φ - умножение Л.О. на скаляр k.
φ·f - произведение линейных операторов φ и f.
Являюися также Л.О. вектороного пространства V.




 4) Ядро линейного оператора:

d(φ) - размерность ядра Л.О. φ (дефект).
5) Образ линейного оператора:

ranφ - ранг Л.О. φ (размерность Jmφ).
6) Собсвенные векторы и собственные значения линейного вектора:
  • Пусть φ - Л.О. векторного пространства V над полем P и и
    Если то λ - собственное значение
    - собственный вектор Л.О. φ, отвечающий λ.
  • Характеристическое уравнение Л.О. φ:
  • Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению λ:
  • Л.О. вектороного пространства называются Л.О. с простым спектром, если φ, если φ имеет ровно n собственных значений.
  • Если φ - Л.О. с простым спектром, то он имеет базис из собственных векторов, относительно которого матрица Л.О. φ диагональна.