Решение дифференциальных уравнений

Maple располагает встроенной функцией dsolve для численного и аналитического решения дифференциальных уравнений и систем следующей структуры:
dsolve({ODE, 1С},{ funcs}, extra_args).
Здесь ODE - дифференциальное уравнение или система уравнений, 1С - начальные или граничные условия, funcs - неизвестная функция (или функции), extra_args - параметры, определяющие метод решения задачи, для численного решения необходимо указать type=numeric.
Решение дифференциального уравнения рассмотрим на примере.

Eq1:=diff(x(t),t$2)+4*diff(x(t),t)+13*x(t)=exp(t);#Определяем уравнение
Eq1 := diff(x(t),`$`(t,2))+4*diff(x(t),t)+13*x(t) = exp(t)
Init_cond:=x(0.25)=-1,D(x)(0.25)=1;#Определяем начальные условия

dsolve({Eq1,Init_cond},x(t));#Решаем уравнение аналитически с помощью функции dsolve
x(t) = -1/18*exp(-2*t)*sin(3*t)/exp(-1/2)/(sin(3/4)^2+cos(3/4)^2)*(6*cos(3/4)+exp(1/4)*cos(3/4)+18*sin(3/4)+sin(3/4)*exp(1/4))+1/18*exp(-2*t)*cos(3*t)*(6*sin(3/4)+sin(3/4)*exp(1/4)-18*cos(3/4)-exp(1/4)...

Теперь на примере этой же задачи рассмотрим решение систем. Это уравнение может быть записано как система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Решение систем,в Maple мало чем отличается от решения уравнений, просто вместо одного уравнения через запятую записывается несколько.

Eq2:=diff(y(t),t)+4*diff(y(t),t)+13*x(t)=exp(t),diff(x(t),t)=y(t);#Определяем систему уравнение

init_2:=y(0.25)=1,x(0.25)=-1;#Определяем начальные условия

dsolve({Eq2,init_2},{x(t),y(t)}); #Решаем систему уравнение аналитически с помощью функции dsolve
${x(t) = -1/1170*sin(1/5*65^(1/2)*t)*(5*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/2)-90*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/4)+65^(1/2)*exp(1/2)*sin(1/20*65^(1/2))+18*sin(1/20*65^(1/2))*65^(1/2)*exp(1/4))*65^(1/2)/exp(1/4)-1/1170*...$
${x(t) = -1/1170*sin(1/5*65^(1/2)*t)*(5*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/2)-90*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/4)+65^(1/2)*exp(1/2)*sin(1/20*65^(1/2))+18*sin(1/20*65^(1/2))*65^(1/2)*exp(1/4))*65^(1/2)/exp(1/4)-1/1170*...$
${x(t) = -1/1170*sin(1/5*65^(1/2)*t)*(5*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/2)-90*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/4)+65^(1/2)*exp(1/2)*sin(1/20*65^(1/2))+18*sin(1/20*65^(1/2))*65^(1/2)*exp(1/4))*65^(1/2)/exp(1/4)-1/1170*...$
${x(t) = -1/1170*sin(1/5*65^(1/2)*t)*(5*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/2)-90*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/4)+65^(1/2)*exp(1/2)*sin(1/20*65^(1/2))+18*sin(1/20*65^(1/2))*65^(1/2)*exp(1/4))*65^(1/2)/exp(1/4)-1/1170*...$
${x(t) = -1/1170*sin(1/5*65^(1/2)*t)*(5*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/2)-90*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/4)+65^(1/2)*exp(1/2)*sin(1/20*65^(1/2))+18*sin(1/20*65^(1/2))*65^(1/2)*exp(1/4))*65^(1/2)/exp(1/4)-1/1170*...$
${x(t) = -1/1170*sin(1/5*65^(1/2)*t)*(5*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/2)-90*cos(1/20*65^(1/2))*exp(1/4)+65^(1/2)*exp(1/2)*sin(1/20*65^(1/2))+18*sin(1/20*65^(1/2))*65^(1/2)*exp(1/4))*65^(1/2)/exp(1/4)-1/1170*...$

Аналогичным образом можно решать и более сложные системы. В качестве еще одного примера рассмотрим жесткую систему.Однако, интервал интегрирования системы следует разбивать на меньшие участки и решать жесткую систему последовательно на каждом из них.

eq3:=diff(x(t),t)=-7*x(t)+7*y(t),diff(y(t),t)=157*x(t)+y(t)-1.15*x(t)*z(t),diff(z(t),t)=0.96*x(t)*y(t)-8.36*z(t);#Система дифференциальных уравнений

init_3:=x(0)=-1,y(0)=0,z(0)=1; #Начальные условия системы

XYZ:=dsolve({eq3,init_3},{x(t),y(t),z(t)},type=numeric);#Формируем численное решение системы

XYZ(0); XYZ(0,2); XYZ(1); #Вычмсляем значения x,y,z в нужных точках