МАТЕМАТИКА И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ:
ОСНОВНОЙ ФИЛОСОФСКИЙ ВОПРОС МАТЕМАТИКИ

 

М.В. Раздобреева

Читинский педагогический колледж

Научный руководитель В.Р. Комович

 

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкование этих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мира или же они трактуются как продукт совершенно "свободного" творчества субъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру "идей", имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).

Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром "идей" и являются лишь слабыми "тенями" последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами "свободного" мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики - самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире "идей", "идеальных объектов".

В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например, Леонард Эйлер, писал: ".математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых они зависят по природе самих вещей". На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Чебышёв.

Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что еще осталось за границами знания. Например, законы механики и методы математики помогли У. Леверрье и Д. Адамсу (XIX в.), а потом и П. Ловеллу (XX в.) теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном, планет - Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтверждено астрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света, после чего П.Н. Лебедев подтвердил прогноз К. Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видах геометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах, гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретической электротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельных вопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий. Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики; после этого был раскрыт их физический смысл.

Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Н.Бурбаки пишет, что "основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" [2]. В настоящее время основной вопрос философии по отношению к математике сместился в план соотношения действительности и языка. Проблему соотношения математики и действительности пытались решить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести все теоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точку зрения и по отношению к математике, неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличие от остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществления языковых преобразований в науках о фактах.

Функция представляет собой одно из основных математических понятий XX в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его действительное значение для развития математического познания.

Термин "функция" впервые был применен в конце XVII века Лейбницем и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о "другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию" (от латинского "функтус" - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы. Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка. Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика И. Ньютона, который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Большой вклад в развитие теории функций внесли Н.И. Лобачевский, Г.Кантор, Дедекинд. Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом: "функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению одного из них сопутствует изменение другого" [13].Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых позволяет найти значение другой величины.

Выше приведенные примеры теорий функции показывают нам важность данного понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочный вывод (в силу множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, что все эти теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительности же эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-за запросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самой математики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории не имеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.

Как мы уже выяснили, понятие «функция» в математике играет значительную роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие в философии. Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовки этого понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами некоторых множеств, - как одна из смысловых сторон «функции», имеет непосредственное отношение к окружающему миру.

Проблема существования в математике также была представлена несколькими философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивным материализмом и субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело свою точку зрения на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленных проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и разрешении. В качестве примера одного из математических абстракций было рассмотрено понятие "функция". Описана история возникновения данного понятия, неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.

 

Библиографический список

1.      Беркли Дж. Сочинения. - М.: Мысль, 1978.

2.      Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Наука, 1963.

3.      Вейль Г. О философии математики. - М. - Л., 1934.

4.      Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. - М.: Просвещение, 1985.

5.      Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. - М., 1936.

6.      Гейтинг А. Интуиционизм. - М.,1965.

7.      Колмогоров А. Н. Современные споры о природе математики // Науч. слово. - 1929. - №6.

8.      Математический энциклопедический словарь./ Под ред. Ю.В.Прохорова. М.: Советская энциклопедия, 1988.

9.     Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. - М., 1914.

10. Ойзерман Т.И. Проблемы историко-философской науки. - М.: Мысль, 1982.