№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7

№ 1(5). Найдите производные заданных функций:

 

1.01. а) у=;

 

в) y=arccos3x ;

б) у=;

г) у=;

1.02. а) у=;

 

в) y=1/3sin3x+sin2x ;

б) у=;

г) у=;

1.03. а) у=;

в) y= ;

б) у=tg2(2x3+1);

 

г) у=;

1.04. а) у=;

в) y=arctg ;

б) у=;

 

г) у=;

1.05. а) у=;

в) y= ;

б) у=;

 

г) у=cos(x-y)-2x+4y=0;

1.06. а) у=;

 

в) y=lnarctg ;

б) у=;

 

г) у=;

1.07. а) у=;

 

в) y=21+tg2x ;

б) у=;

 

г) у=;

1.08. а) у=;

 

в) y=;

б) у=;

г) у=;

1.09. а) у=;

 

в) y=;

б) у=;

г) у=;

1.10. а) у=;

 

в) y=;

б) у=;

г) у=;

1.11. а) у=;

 

в) y=sin32x*cos23x;

б) у=;

г) у=x2+2xy-y2;

1.12. а) у=;

в) y=lnsin(2x+5);

б) у=(ecosx+3)2;

 

г) у=;

 

1.13. а) у=;

 

в) y=arctge2x

б) у=;

г) у=;

 

1.14. а) у=;

 

в) y=arcsin;

б) у=;

 

г) у=;

 

1.15. а) у=;

в) y=xmlnx;

б) у=sinx-xcosx;

 

г) у=;

 

1.16. а) у=;

 

в) y=(arctgx)lnx;

б) у=;

 

г) у=(ex-1)(ey-1)-1=0;

 

1.17. а) у=2tg3(x2+1);

 

в) y=(arctgx)x;

б) у=;

г) у=;

 

1.18. а) у=;

в) y=arctg;

б) у=1/2tg2x+lncosx;

 

г) у=;

1.19. а) у=;

 

в) y=;

б) у=2x*e-x;

 

г) у=;

1.20. а) у=;

 

в) y=arcsinx/x;

б) у=tgln;

 

г) у=(sin;

 

1.21. а) у=;

в) y=arctg-;

б) у=;

 

г) у=;

 

1.22. а) у=;

в) y=arcsin;

б) у=e2xsin3(4x-3);

 

г) у=;

 

 

1.23. а) у=;

в) y=arccos2x/x;

б) у=cos23x*sin2x;

 

г) у=;

 

 

1.24. а) у=;

в) y=;

б) у=xarcsinx+;

 

г) у=;

 

 

1.25. а) у=;

 

в) y=arccos3/x;

б) у=exsin25x;

 

г) у=;

 

 

1.26. а) у=;

 

в) y=e3xcos2(2x+3);

б) у=arctg;

 

г) у=;

 

 

1.27. а) у=;

в) y=arctg;

б) у=e2xsin23x;

 

г) у=;

 

 

1.28. а) у=;

 

в) y=arctge2x;

б) у=ln;

г) у=;

 

 

1.29. а) у=;

 

в) y=arccostg2x;

б) у=ln;

г) у=;

 

 

1.30. а) у=;

 

в) y=1/3sin3x+sin2x;

б) у=ln;

г) у=;

 

 

1.31. а) у=;

в) y=arccos2x+;

б) у=;

г) у=2tgx+xsin2x;

 

 

1.32. а) у=;

 

в) y=;

б) у=ln;

г) у=;

 

 

1.33. а) у=;

 

в) y=;

б) у=ln;

 

г) у=;

 

 

1.34. а) у=;

 

в) y=;

б) у=ln;

 

г) у=;

 

 

1.35. а) у=;

 

в) y=;

б) у=ln;

 

г) у=;

 

 

1.36. а) у=;

 

 

в) y=;

б) у=ln;

 

г) у=.

 

 

 

в начало    образец решения



№ 2(5). Найдите  и  :

2.01.a) y=; b) x=,

y=t-sint;

 

2.19.a) y=xe1/x; b) x=1/cost,

 y=tgt;

2.02.a) y=lnctg2x; b) x=t3+8t,

y=t5+2t;

 

2.20.a) y=; b) x=2cos3t,

 y=3sin3t;

2.03.a) y=x3lnx; b) x=t-sint,

 y=1-cost;

 

2.21.a) y=lnctgx; b) x=t3+3t+1,

y= t3-3t+1;

2.04.a) y=xarctgx; b) x=e2t,

 y=cost;

 

2.22.a) y=e2x(3x-2x2); b) x=cosat,

 y=sinat;

2.05.a) y=arctgx; b) x=3cos2x,

y=2sin3t;

 

2.23.a) y=e3xcos2x; b) x=ln(1+t2),

y=t-arctgt;

2.06.a) y=ectg3x; b) x=3cost,

y=4sin2t;

 

2.24.a) y=ln(x+); b) x=arctgt, y=1/2t2;

2.07.a) y=excosx; b) x=3t-t3,

 y=3t2;

 

2.25.a) y=(x2-3)cos2x; b) x=arcsint, y=;

2.08.a) y=e-xsinx; b) x=2t-t3,

y=2t2;

 

2.26.a)y=lnctg5x; b) x=t2+t+1,

y=t3+t;

2.09.a) y=x; b) x=t+lncosx,

 y=t-lnsinx;

 

2.27.a)y=(x2-x)ex; b) x=2sin3t,

y=3cos2t;

2.10.a) y=x; b) x=lnt,

y=1/2(t+1/t);

 

2.28.a)y=x4lnx; b) x=etcost,

y=etsint;

2.11.a) y=arctgx2; b) x=2t-sin2t,

 y=sin3t;

 

2.29.a)y=xsin2x; b) x=arcsint,

y=ln(1-t2);

2.12.a) y=x2lnx; b) x=t+1/2sin2t,

y=cos3x;

 

2.30.a)y=(1+x2)arctgx; b) x=a(t-sint), y=a(1-cost);

2.13.a) y=x; b) x=,

 y=cost;

 

2.31.a)y=ln(x+); b) x=2sin3t, y=3cos2t;

2.14.a) y=x-arctgx; b) x=sin2t,

 y=cos2t;

 

2.32.a)y=; b) x=arctgt,

y=ln(1+t2);

2.15.a) y=cosx-1/3cos3x; b) x=t2+1,

 y=;

 

2.33.a)y=tg3x; b) x=arcsint,

 y=;

2.16.a) y=arctg; b) x=t2,

y=1/3t3-t;

 

2.34.a)y=x2e-3x; b) x=arccos,

y=;

2.17.a) y=x2sinx; b) x=tgt,

y=cos2t;

 

2.35.a)y=(1-x2)cosx; b) x=tgt,

y=1/sin2t;

2.18.a) y=e2xsin3x; b) x=arctgt,

y=ln(1+t2);

2.36.a)y=x22x; b) x=t-sint,

y=1-cost.

 

в начало    образец решения



№ 3(5). Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [a,b]:

 

3.01. f(x)=x3-12x+7; [0;3];

3.19. f(x)= x +sinx; [0; π];

3.02. f(x)=x5-5/3x3+2; [0;2];

3.20. f(x)= x4 -4x2; [0; 3];

3.03. f(x)=x+cosx; [0;π/2];

3.21. f(x)= x –cosx; [-π/2;π/2];

3.04. f(x)=3x4-16x3+2; [-3;1];

3.22. f(x)= x3 -3x+1; [-2; 0];

3.05. f(x)=x3-3x+1; [1/2;2];

3.23. f(x)= 1/2x-sinx; [0; π/2];

3.06. f(x)=x4+4x; [-2;2];

3.24. f(x)= x5 -5/3x3+2; [-1/2; 3];

3.07. f(x)= x -sinx; [0; π/2];

3.25. f(x)= 1/2x -cosx; [0; π/2];

3.08. f(x)=81x-x4; [-1;4];

3.26. f(x)= 3x4 -8x3+2; [-1; 1];

3.09. f(x)=3-2x2; [-1;3];

3.27. f(x)= x-sinx; [0; π/2];

3.10. f(x)=x-sinx; [-π;π];

3.28. f(x)= x -cosx; [-π; 0];

3.11. f(x)=x5-5/3x3+2; [-2;0];

3.29. f(x)=  +cosx; [-π/2; π/2];

3.12. f(x)=1/2x+cosx; [0;π/2];

3.30. f(x)= x +cosx; [0; π];

3.13. f(x)=3x4-16x3+2; [-3;1];

3.31. f(x)=x4-8x2+3; [-2;2];

3.14. f(x)=1/2x-sinx; [3/2π;2π];

3.32. f(x)=1/3x3-2x2+3; [-1;2];

3.15. f(x)=1/2x+cosx; [π/2;π];

3.33. f(x)=х-sinx; [0; π/2];

3.16. f(x)=x-sinx; [0;2π];

3.34. f(x)= tgx-x; [-π/4; π/4];

3.17. f(x)=8x3-x4; [0;7];

3.35. f(x)=-1/3x3+1/2x2-2x-1/3; [-2;2];

3.18. f(x)=x3-3x+1; [-1;1/2];

3.36. f(x)=1/3x3+x2-3x-4; [-4;2].

 

в начало    образец решения



№ 4(5). Исследуйте функцию методами  дифференциального исчисления и, используя результаты исследований, постройте график:

 

4.01. y=

4.19. y=

4.02. y=

4.20. y=

4.03. y=

4.21. y=

4.04. y=

4.22. y=

4.05. y=

4.23. y=

4.06. y=

4.24. y=

4.07. y=

4.25. y=

4.08. y=

4.26. y=

4.09. y=

4.27. y=

4.10. y=

4.28. y=

4.11. y=

4.29. y=

4.12. y=

4.30. y=

4.13. y=

4.31. y=1/3(x3-14x2+49x-36);

4.14. y=

4.32. y=1/20(x3-25x2+143x-119);

4.15. y=

4.33. y=x3-8,5x2+20x-12,5;

4.16. y=

4.34. y=1/3(x3-16x2+69x-54);

4.17. y=

4.35. y=1/20(x3-29x2+215x-187);

4.18. y=

4.36. y=x3-9,5x2+26x-17,5.

 

 

в начало    образец решения



№ 5(5). Решите экстремальные прикладные задачи.

 

5.01. Изготовьте из куска картона 30х14 (кв. см.) коробку без крышки наибольшей вместимости, вырезая по углам равные квадраты и затем загибая картон для образования углов коробки.

 

5.02. Бак цилиндрической формы должен вмещать V л. воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы поверхность (без крышки) была наименьшей?

 

5.03. Из всех прямоугольников, имеющих периметр равный 2а, найдите тот, площадь которого наибольшая.

 

5.04. требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 м. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

 

5.05. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и диаметра), чтобы на ее изготовление пошло минимальное количество жести?

 

5.06. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы она с трех сторон была огорожена сеткой, а четвертой примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон, площадка будет иметь наибольшую площадь?

 

5.07. Резервуар, который должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда, открытого сверху, с квадратным основанием, нужно вылудить изнутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его лужение пошло наименьшее количество олова, если он должен вмещать 108 л. воды?

 

5.08. Из куска проволоки, длиной L требуется согнуть прямоугольник так, чтобы его площадь была наибольшей.

 

5.09. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму кругового конуса заданной вместимости V=9π/2 м3. Каковы должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

 

5.10. Найдите высоту и наибольшее основание рамы, имеющей форму равнобокой трапеции, которая при данной площади 3 кв. м. имеет наименьший периметр. Угол при большем основании трапеции равен 60°.

 

5.11. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника, окно будет пропускать наибольшее количество света?

 

5.12. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей L=3м. При какой глубине ямы ее объем будет наибольшим?

 

5.13. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды, имеющей боковую поверхность S=4м2. Каковы должны быть размеры палатки (сторона основания а и высота Н), чтобы вместимость палатки была наибольшей?

 

5.14. Цистерна имеет форму прямого круглого цилиндра, завершенного с одной стороны полушарием. Вместимость цистерны 40 π/3 м3. Найдите радиус цилиндра, при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.

 

5.15. Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л. жидкости. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?

 

5.16. Из фанеры требуется выпилить прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см. таким образом, чтобы он имел наибольшую площадь. Каковы размеры катетов этого треугольника?

 

5.17. Грядку площадью 100 м2, имеющую форму прямоугольника, требуется по периметру огородить досками. Сколько погонных метров досок потребуется для этой цели при том условии, что периметр у прямоугольника наименьший?

 

5.18. Для посадки ценных культур требуется участок, площадь которого 5,76 га. Какие размеры должен иметь участок, чтобы затраты на постройку его были наименьшими?

 

5.19. Коническая башня имеет образующую 2. Какой наибольший объем может иметь башня?

 

5.20. Боковое ребро палатки, имеющей форму правильной треугольной пирамиды, имеет длину 3 м. При каком значении ребра наклона ребра к плоскости основания объем палатки будет наибольшим?

 

5.21. При каком отношении бокового ребра к высоте цилиндрическая бочка, площадью поверхности 144 π дм2, имеет наибольший объем?

 

5.22. Боковая грань башни, имеющей форму правильной четырехугольной пирамиды, имеет постоянную площадь 72 м2 и наклонена к плоскости основания под углом  λ. При каком значении угла λ объем пирамиды будет наибольшим?

 

5.23. Ящик имеет форму правильной четырехугольной призмы и объем 1,2 м3. Каковы размеры ящика, если известно, что он имеет наименьшую полную поверхность?

 

5.24. На какой высоте нужно повесит фонарь над центром круглой площадки радиуса 10 м, чтобы освещенность на ее границе была наибольшей? Замечание. Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.

 

5.25. Из круглого бревна, диаметр которого равен λ, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть высота и ширина этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х ее поперечного сечения на квадрат его высоты у: Q=kxy2, где k- const.

 

5.26.    Из круглой металлической пластинки радиуса R требуется вырезать прямоугольник наибольшей площади. Каковы его размеры?

 

5.27.    Боковая вышка расположена  в поле  в 9 км. от шоссе. С буровой надо отправить курьера в населенный пункт, расположенный от шоссе в 15 км. от упомянутой точки (шоссе считаем прямоугольным). Скорость курьера на велосипеде по полю равна 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?

 

5.28.    Участок земли под сад, площадью. 40000 м2, нужно окопать рвом вдоль всей границы. Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина рва была наименьшей?

 

5.29.    Земельный участок прямоугольной формы, расположенный вдоль прямого берега реки нужно огородить с 3- х сторон изгородью. Вычислите минимальную стоимость изгороди, если 1 погонный метр ее обходится в 75 руб, а площадь земельного участка 4,5 га?

 

5.30.    Строится канал, имеющий в сечении форму равнобокой трапеции, основание и боковые стороны которого имеют размеры по 8 м. Какова должна быть ширина канала, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

 

5.31.    Требуется изготовить из жести коническую воронку с образующей равной 15 см. Какова должна быть высота воронки, Чтобы ее объем был наибольшим?

 

5.32.    Требуется изготовить из жести закрытый цилиндрический бак, емкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака пойдет наименьшее количество материала?

 

5.33.    Из листа фанеры нужно выпилить прямоугольник с периметром 20 дм, имеющий наименьшую диагональ. Каковы размеры прямоугольника?

 

5.34.    Из березовой заготовки требуется выточить на токарном станке цилиндр объемом=16π дм3 с наибольшей поверхностью. Какими должны быть радиус основания и высота цилиндра?

 

5.35.    В клумбу,  имеющую форму полукруга, заданного радиуса нужно вписать прямоугольную клумбу наибольшей площади. Каковы должна быть размеры прямоугольной клумбы?

 

5.36.    Около шара радиуса R описан конус. Найдите радиус основания и высоту конуса, если известно, что объем его наименьший из всех возможных?

 

в начало    образец решения



№ 6(5). Напишите три первых члена степенного ряда по заданному общему члену anxn, найдите интервал сходимости ряда и исследуйте его сходимость на концах этого интервала.

 

6.01.

6.13.

6.25.

6.02.

6.14.

6.26.

6.03.

6.15.

6.27.

6.04.

6.16.

6.28.

6.05.

6.17.

6.29.

6.06.

6.18.

6.30.

6.07.

6.19.

6.31.

6.08.

6.20.

6.32.

6.09.

6.21.

6.33.

6.10.

6.22.

6.34.

6.11.

6.23.

6.35.

6.12.

6.24.

6.36.

 

 

в начало    образец решения



№ 7(5). Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х:

 

7.01. f(x)=9/(20-x-x2);

 

7.19. f(x)=7/(12+x-x2);

7.02. f(x)=ln/(1-x-6x2);

 

7.20. f(x)=ln(1+x-6x2);

7.03. f(x)=(sh2x)/x-2;

 

7.21. f(x)=(ch3x-1)/x2;

7.04. f(x)=x/;

 

7.22. f(x)=1/;

7.05. f(x)= (x-1)sin5x;

 

7.23. f(x)=(3+e-x)2;

7.06. f(x)=6/(8+2x-x2);

 

7.24. f(x)=7/(12-x-x2);

7.07. f(x)=ln(1-x-12x2);

 

7.25. f(x)=ln(1+2x-8x2);

7.08. f(x)=arcsinx/x-1;

 

7.26. f(x)= (x-1)lnx;

7.09. f(x)=x2;

 

7.27. f(x)=x;

7.10. f(x)=2xsin2(x/2)-x;

 

7.28. f(x)=(sin3x)/(x-cos3x);

7.11. f(x)=5/(6+x-x2);

 

7.29. f(x)=5/(6-x-x2);

7.12. f(x)=ln(1+x-12x2);

 

7.30. f(x)=ln(1-x-20x2);

7.13. f(x)= (arctgx)/x;

 

7.31. f(x)=(x-1)chx;

7.14. f(x)=;

 

7.32. f(x)=3x;

7.15. f(x)=(2-ex)2;

 

7.33. f(x)=e-2x;

7.16. f(x)=3/(2-x-x2);

7.34. f(x)=cos2x;

 

7.17. f(x)=x2/;

 

7.35. f(x)=sh2x;

7.18. f(x)=2xcos2(x/2)-x;

7.36. f(x)=ch2(x2).

 

в начало    образец решения