№ 1(8). Проверьте
удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция:
|
1.01. |
1.19. |
|
1.02. |
1.20. |
|
1.03. |
1.21. |
|
1.04. |
1.22. |
|
1.05. |
1.23. |
|
1.06. |
1.24. |
|
1.07. |
1.25. |
|
1.08. |
1.26. |
|
1.09. |
1.27. |
|
1.10. |
1.28. |
|
1.11. |
1.29. |
|
1.12. |
1.30. |
|
1.13. |
1.31. |
|
1.14. |
1.32. |
|
1.15. |
1.33. |
|
1.16. |
1.34. |
|
1.17. |
1.35. |
|
1.18. |
1.36. |
в начало
образец решения
№ 2(8). Даны функция u=f(x;y), точка М0(х0;у0)
и вектор 
1. Найдите
градиент функции в точке М0 и наибольшую
скорость изменения функции в точке М0. Постройте градиент.
2. Вычислите
производную функции в точке М0 по
направлению вектора 
.
2.01.
u=x2+y2-2x+4y, M0(2,1),
, c=4;
2.02.
u=x2+y2+4x+2y, M0(1,1),
, c=-4;
2.03.
u=x2+y2+2x-8y, M0(1,1),
, c=2;
2.04.
u=x2+y2+4x-4y, M0(1,3),
, c=-1;
2.05.
u=x2+y2-2x-4y, M0(3,1),
, c=-1;
2.06.
u=x2+y2-4x-2y, M0(2,0),
, c=-4;
2.07.
u=x2+y2-2x-2y, M0(2,-2),
, c=7;
2.08.
u=x2+y2+2x+4y, M0(1,1),
, c=2;
2.09.
u=x2+y2-2x+2y, M0(1,-1),
, c=4;
2.10.
u=x2+y2+2x+2y, M0(3,5),
, c=7;
2.11.
u=x2+y2+2x+4y, M0(2,1),
, c=-1;
2.12.
u=x2+y2-2x-2y, M0(1,1),
, c=2;
2.13.
u=x2+y2+2x-4y, M0(-1,1), , c=4;
2.14.
u=x2+y2+2x-2y, M0(1,3), 
, c=7;
2.15.
u=x2+y2+4x+2y, M0(2,3),
, c=4;
2.16.
u=x2+y2-2x-4y, M0(1,2),
, c=4;
2.17.
u=x2+y2-4x-2y, M0(1,3),
, c=4;
2.18.
u=x2+y2-2x+4y, M0(-1,2), , c=-1;
2.19.
u=x2+y2+2x+2y, M0(1,1),
, c=2;
2.20.
u=x2+y2+4x+2y, M0(1,1), , c=-4;
2.21.
u=arctg(y/x), M0(-1,1), ;
2.22.
u=2x2+xy, M0(-1,2), 
;
2.23.
u=x3y+xy2, M0(1,3), ;
2.24.
u=ln(2x+3y), M0(2,2),
;
2.25.
u=5x2y+3xy2, M0(1,1),
;
2.26.
u=3x/y2, M0(3,4),
;
2.27.
u=arctg(xy), M0(2,3), 
;
2.28.
u=ln(3x2+2xy2), M0(1,2), 
;
2.29.
u=
, M0(1,-2), ;
2.30.
u=5x2xy+y2, M0(1,1),
;
2.31.
u=x2y2-xy3-3y, M0(1,0), ;
2.32.
u=y2/x, M0(1,3), ;
2.33.
u=arctg(x2y), M0(1,1), ;
2.34.
u=5x2y+3xy3, M0(-1,1),
;
2.35.
u=x2-2xy+3y, M0(1,2),
;
2.36.
u=xy2-xy, M0(2,1), .
в начало
образец решения
№ 3(8). Исследуйте функцию z=f(x,y) на экстремум.
|
3.01. z=x2+xy+y2—2xy; |
3.19. z=xy-x2-y2+9; |
|
3.02. z=x3+y3—6xy+5; |
3.20. z=2xy-3x2-2y2+10; |
|
3.03. z=x3+y3—6xy-39x+18y+20; |
3.21. z=5(x-y)-x2-y2; |
|
3.04. z=x3+y3—3xy; |
3.22. z=3x3+24y3-18xy+2; |
|
3.05. z=1+15x-2x2-xy-2y2; |
3.23. z=x3+y2-6xy-39x+3; |
|
3.06. z=2x3+2y3—6xy+5; |
3.24. z=2x2-2xy+2y2+18x-12y; |
|
3.07. z=3x3+3y3—9xy+10; |
3.25. z=(3-x2)+3y2+5; |
|
3.08. z=x2+xy+y2+x-y+1; |
3.26. z=4xy-4x2-8y2; |
|
3.09. z=4x-y-x2-y2; |
3.27. z=x2-+4(y-1)2; |
|
3.10. z=6x-y-3x2-3y2; |
3.28. z=3(x+4)-3x2-3y2; |
|
3.11. z=x2+xy+y2—6x-9y; |
3.29. z=x3+8y3-6xy+2; |
|
3.12. z=x+2y2—10; |
3.30. z=x2+4y2+10x-12y+3; |
|
3.13. z=x-y2+1; |
3.31. z=2x3+16y3-12xy+1; |
|
3.14. z=1-6x-x2-xy-y2; |
3.32. z=x3+y3-3xy+12; |
|
3.15. z=2xy-2x2-4y2; |
3.33. z=2xy-2x2-y2+5; |
|
3.16. z=x2-xy+y2+9x-6y+20; |
3.34. z=(x-2)2+4y2; |
|
3.17. z=2xy-5x2-3y2+2; |
3.35. z=x3+y3-3xy; |
|
3.18. z=x3+8y3—6xy+1; |
3.36. z=3xy-3x2-3y2+6; |
в начало
образец решения
№ 4(8). Найдите наибольшее и наименьшее значения
линейной функции z=c1x+c2y+c0 в области решений системы линейных неравенств.
|
4.01. z=9x-2y+10. |
4.19. z=2x+y-3. |
|
4.02. z=-x+y+2. |
4.20. z=2x+y+1. |
|
4.03. z=3x-2y+1. |
4.21. z=3-2x2-xy-y2. |
|
4.04. z=2x-y+3. |
4.22. z=x2+2xy-y2-4x. |
|
4.05. z=5x-7y+25. |
4.23. z=x2+xy. |
|
4.06. z=-x+y+6. |
4.24. z=x2+y2-2x-2y+8. |
|
4.07. z=2x-3y+1. |
4.25. z=x2+2y2+1. |
|
4.08. z=x-2y+2. |
4.26. z=3x2+6x+y2-y+2. |
|
4.09. z=4x-y-3. |
4.27. z=2xy+x+y2. |
|
4.10. z=x+2y-8. |
4.28. z=x2+4x+2y+8y2+2. |
|
4.11. z=x+y-1. |
4.29. z=x2+2xy+4x-y2. |
|
4.12. z=8x-6y+7. |
4.30. z=xy-x-2y. |
|
4.13. z=-4x+y+4. |
4.31. z=3x2-2xy-y2+4x+1. |
|
4.14. z=x+2y+2. 4.15. z=-x+2y+12. |
4.32. z=x3+y3-3xy. 4.33. z=2x2+6y2+2x-2y |
|
4.16. z=-2x+4y+1. |
4.34. z=4x2+4xy-y2+8x. |
|
4.17. z=2x-2y-1. |
4.35. z=3x2+3xy-6. |
|
4.18. z=2x+2y+5. |
4.36. z=2x-2y-x2-y2. |
в начало
образец решения
№ 5(8). Методом наименьших квадратов найдите параметры
а и b в
эмпирической формуле y=ax+b. Постройте
точки и график полученной зависимости.
5.01.
|
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
у |
4,75 |
2,8 |
0,8 |
-1,15 |
-3,15 |
-5,1 |
5.02.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
1 |
3 |
7 |
12 |
19 |
5.03.
|
х |
2 |
4 |
5 |
6 |
8 |
9 |
|
у |
-1 |
5 |
8,5 |
12 |
18 |
13 |
5.04.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
у |
1 |
1,5 |
3 |
5 |
6 |
|
5.05.
|
х |
0,2 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1,3 |
1,5 |
|
у |
3,7 |
3,8 |
3,9 |
4 |
4,1 |
4,2 |
5.06.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
1 |
6 |
13 |
24 |
37 |
5.07.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
у |
2 |
4,9 |
7,9 |
11,1 |
14,1 |
17 |
5.08.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
2 |
8 |
24 |
43 |
68 |
5.09.
|
х |
-2 |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
у |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
5.10.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
0 |
-1 |
-6 |
-11 |
-13 |
5.11.
|
х |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
|
у |
2,1 |
2,2 |
2,7 |
2,8 |
2,85 |
5.12.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
-1 |
-1,5 |
-2 |
-3 |
-4,5 |
5.13.
|
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
у |
-2 |
-6 |
-10,5 |
-14,5 |
-19 |
5.14.
|
х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
у |
-6,7 |
-2,2 |
1,1 |
2,2 |
1,1 |
5.15.
|
х |
2 |
4 |
5 |
6 |
8 |
|
у |
-1 |
5 |
8,5 |
12 |
18 |
5.16.
|
х |
-2,1 |
-1,1 |
0,1 |
1,2 |
2,1 |
|
у |
-5,83 |
0,56 |
2,94 |
0,14 |
-5,83 |
5.17.
|
х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
у |
-12,1 |
-8,1 |
-4 |
0 |
4 |
8,1 |
5.18.
|
х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
у |
-5,1 |
0,2 |
2,9 |
4,2 |
2,9 |
0,1 |
5.19.
|
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
у |
6,1 |
0,3 |
-1,9 |
0,4 |
6,2 |
5.20.
|
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
у |
4,3 |
2,1 |
1,1 |
2,2 |
4,5 |
7,7 |
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
2,7 |
3,2 |
4 |
3,5 |
2,5 |
5.22.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
0,9 |
2,1 |
1,3 |
3,2 |
2,8 |
5.23.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
4,6 |
3,4 |
2,8 |
4,2 |
1,7 |
5.24.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
2,3 |
4,5 |
3 |
1,9 |
2 |
5.25.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
0,7 |
3,8 |
2,5 |
4 |
3,3 |
5.26.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
3,1 |
4,2 |
0,8 |
1,5 |
2,7 |
5.27.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
1,3 |
4 |
3,5 |
2,6 |
1,9 |
5.28.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
3,7 |
2,4 |
0,9 |
1,8 |
2,6 |
5.29.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
3,1 |
4,5 |
2,8 |
3,9 |
1,7 |
5.30.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
0,8 |
2,4 |
1,7 |
3,2 |
2,5 |
5.31.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
2,3 |
3 |
4,3 |
3,8 |
1,5 |
5.32.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
1,6 |
4,2 |
3,4 |
2,6 |
3 |
5.33.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
2,8 |
3,5 |
4 |
2,7 |
0,8 |
5.34.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
3 |
4,8 |
5 |
1,7 |
2 |
5.35.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
1,7 |
0,9 |
2,6 |
3,1 |
4,2 |
5.36.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
у |
4 |
3,2 |
1,9 |
3,7 |
2,1 |
в начало
образец решения
№ 6(8). Вычислите с помощью двойного интеграла в
полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в
декартовых координатах (a>0):
|
6.01. (x4+y2)3=a2x2y2; |
6.19. (x2+y2)3=2x5; |
|
6.02. (x2+y2)2=a2*(4x2
+y2); |
6.20. (x2+y2)2=2ax3; |
|
6.03. (x2+y2)3=a2*x2(4x2
+3y2); |
6.21. (x2+y2)2=2y3; |
|
6.04. (x2+y2)2=a2*(3x2
+2y2); |
6.22. (x2+y2)3=a2*(x4
+y4); |
|
6.05. x4=a2*(3x2
-y2); |
6.23. (x2+y2)5=a4x4y4; |
|
6.06. x6=a2*(x4
–y4); |
6.24. (x2+y2)7=a8x2
y4; |
|
6.07. x4=a2*(x2
-3y2); |
6.25. (x2+y2)2=ax3; |
|
6.08. x6=a2*(-x4
+y4); |
6.26. (x2+y2)2=a(x3
-3xy2); |
|
6.09. (x2+y2)2=a2*(2x2
+3y2); |
6.27. (x2+y2)2=a(x2
-y2); |
|
6.10. y6=a2*(-x2
+y2)(y2+x2); |
6.28. (x2+y2)2=8a2xy; |
|
6.11. (x2+y2)2=2a2xy; |
6.29. (x3+y3)2=x2
+y2 (x |
|
6.12. (x2+y2)3=a2y4; |
6.30. (x2+y2)2=2ax2; |
|
6.13. (x2+y2)2=a2*(4x2
+y2); |
6.31. (x2+y2)2=2a(x2
-y2); |
|
6.14. (x2+y2)3=x
y4; |
6.32. (x2+2y2)3=xy4; |
|
6.15. (x2+y2)2=a2*(x2
+2y2); |
6.33. (x2/4+y2/9)2=x2y; |
|
6.16. (x2+y2)2=2a2*(x2
-y2); |
6.34. (x+y)3=xy; |
|
6.17. (x2+y2)2=a2*(5x2 +7y2); |
6.35. (x2+y2)2=2(x3
-3xy2); |
|
6.18. (x2+y2)2=a2xy; |
6.36. (x2+y2)2=a2*(3x2
+2y2). |
, yв начало
образец решения
№ 7(8). Вычислите с помощью тройного интеграла объем
тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделате
чертеж данного тела и его проекции на плоскость Оху.
7.01. z=0, z=x, y=0, y=4, x=
;
7.02. z=0, z=9-y2, x2+y2=9;
7.03. z=0, z=4x-y, x2+y2=4;
7.04. z=0,
z=y2, x2+y2=9;
7.05. z=0, y+z=2, x2+y2=4;
7.06. z=0,
4z=y2, 2x-y=0, x+y=9;
7.07. z=0, z=x2+y2, x2+y2=4;
7.08. z=0,
z=1-y2, x=y2, x=2y2+1;
7.09. z=0,
z=1-x2, y=0, y=3-x;
7.10. z=0, z=4
, x=0, x+y=4;
7.11. z=0,
z=2x, x+y=3, x=
;
7.12. z=0,
x=
, y=x, y=0, z=sin
;
7.13. z=0, x=0, y=0,x+y=1, y=
;
7.14. z=0,
z=1+x+y, x+y=1, x=0, y=0;
7.15. z=0,
z=
, y=x2;
7.16. z=0,
z=xy, x+y+z=1;
7.17. z=0,
2-x-y-2z=0, y=x2, y=x;
7.18. z=0,
z=1/a(a2-x2-4y2);
7.19. z=0, y=x2, z=1-y;
7.20. z=0,
z+y=6, y=
, y=2;
7.21. z=0,
z=2-x, x=1, x=y2;
7.22. z=0,
y=1, y=x2, z=x2+y2;
7.23. z=0,
x=0, y=0, x+y=1, z=x2+3y2;
7.24. z=0,
z=4-y2, y=x2/2;
7.25. z=0,
z=4-x2-y2, x=1, x=-1, y=1, y=-1;
7.26. z=0,
x=0, y=0, 2x+3y-12=0, z=y2/2;
7.27. z=0,
x=0, y=0, x=1, x+y=2, z=x2+1/2y2;
7.28. z=0,
x=0, y=0, x=4, y=4, z=x2+y2+1;
7.29. z=0,
x=0, y=0, y+z=1, x=y2+1;
7.30. z=0,
y=0, x=0, x/a+y/b+z/c=1;
7.31. z=4-y2,
z=2+y2, x=-1, x=2;
7.32. z=x2+y2,
z=x2+2y2, y=x, y=2x, x=1;
7.33. z=x2+y2,
z=2x2+2y2, y=x2, y=x;
7.34. z2=xy, z=x2+y2;
7.35. z=0,
z=1+x+y, x+y=1, x=0, y=0;
7.36. z=0, z+y=6, y=, y=2.
в начало
образец решения
№ 8(8). Решите задачу.
8.01.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L окружности x=5cost, y=5sint от точки А(5, 0) до точки
В(4, 5). Сделайте чертеж.
8.02.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль ломанной L=ОАВ, где О(0,0), А(2,0),
В(4,5). Сделайте чертеж.
8.03.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль границы L треугольника
АВС, обходя ее против часовой стрелки, где А(1,0),
В(1,1), С(0,1). Сделате чертеж.
8.04.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L параболы
у=х2 от точки А(-1, 1) до точки В(1,1).
Сделайте чертеж.
8.05.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль верхней половины
L эллипса x=3cost, y=sint (0
). Сделайте чертеж.
8.06. Вычислите
криволинейный интеграл 
вдоль ломанной L=АВС,
где А(1,2), В(1,5), С(3,5). Сделайте чертеж.
8.07.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L кривой у=е-х от
точки А(1,2) до точки В(2,4). Сделайте чертеж.
8.08.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль отрезка L=АВ прямой от точки А(0,0) до
точки В(2,4). Сделайте чертеж.
8.09.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L параболы у=2х2 от точки А(0,0)
до точки В(1,2). Сделать чертеж.
8.10.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L кривой y=lnx от точки А(1,0) до точки В(е,
1). Сделайте чертеж.
8.11.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L верхней
чисти части полуокружности х2+у2=а2.
интегрировать против хода часовой стрелки. Сделайте чертеж.
8.12.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль ломаной L=ОАВС, где0(0,0,0), А(1, 0,
0), В(1,1,0), С(1,1,1). Сделайте чертеж.
8.13.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль границы L треугольника АВС, обходя ее против часовой стрелки, где А(0,
0), В(1,0), С(0,1). Сделайте чертеж.
8.14.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L параболы 4х+у2=4 от точки А(1, 0) до
точки В(0,2). Сделайте чертеж.
8.15.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль верхней
половины L эллипса x=accost, y=bsint, обходя ее против часовой стрелки (
). Сделайте чертеж.
8.16.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль границы L треугольника АВС, обходя ее по ходу часовой стрелки,
где А(-1, 0), В(0,2), С(2,0). Сделайте чертеж.
8.17.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L циклоиды х=а(t-sint), y=a(1-cost) от точки А(2πa, 0) до точки
В(0?0). Сделайте чертеж.
8.18.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L кривой y=lnx от
точки А(1, 0) до точки В(е, 1). Сделайте чертеж.
8.19.
Вычислите криволинейный интеграл 
от точки 0(0,0) до
точки А(1,2) по линии у=2х2.. Сделайте
чертеж.
8.20.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль ломаной L=ОАВ, где
0(0,0), А(2, 0), В(4, 2). Сделайте чертеж.
8.21.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L окружности
циклоиды х=cost, у=sint радиуса
1 с центром в начале координат. Сделайте чертеж.
8.22.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль ломаной
линии L, состоящей из отрезков прямых х=1, у=5 от точки А(1, 2) до
точки В(3,5). Сделайте чертеж.
8.23.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль границы L треугольника, образованного осями координат и прямой х/2+у/3=1. интегрировать в положительном направлении. Сделайте
чертеж.
8.24.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L параболы
у=х2 от точки 0(0,0) до точки А(2,4). Сделайте
чертеж.
8.25.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль верхней
половины L эллипса 
. Интегрировать против часовой стрелки. Сделайте чертеж.
8.26.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль отрезка L и прямой х/а+у/b=1 от точки А(а, 0) до точки В(0,
b). Сделайте чертеж.
8.27.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль вдоль дуги L кривой y=2lnx от
точки А(1, 0) до точки В(е, 2). Сделайте чертеж.
8.28.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль дуги L астроиды
x=8cos3t, y=8sin3t от
точки А(8, 0) до точки В(0, 8). Сделайте чертеж.
8.29.
Вычислите криволинейный интеграл вдоль дуги L эллипса x=cost, y=2sint от
точки А(1, 0) до точки В(0, 2). Сделайте чертеж.
8.30.
Вычислите криволинейный интеграл 
вдоль границы L треугольника ОАВ, обходя ее против хода часовой
стрелки, где 0(0,0), А(1, 0), В(1, 1). Сделайте чертеж.
8.31.
Вычислите криволинейный интеграл 
если путь от точки А(1, 1) до
точки В(3,4) – отрезок прямой. Сделайте чертеж.
8.32.
Вычислите криволинейный интеграл 
если
К – это ломаная ОАВ, где 0(0,0), А(2,0). В(4,2). Сделайте чертеж.
8.33.
Вычислите криволинейный интеграл 
если
К – контур треугольника с вершинами А(1,2)., В(3,1), С(2,5), пробегаемый
против хода часовой стрелки. Сделать чертеж.
8.34. Вычислите криволинейный
интеграл 
, где к- дуга параболы у=2х-х2,
расположенная над осью ОХ и пробегаемая по ходу часовой стрелки. Сделайте
чертеж.
8.35.
Вычислите криволинейный интеграл вдоль дуги L циклоиды х=а(t-sint), y=a(1-cost) от точки А(2πa, 0) до точки
В(0?0). Сделайте чертеж.
8.36.
Вычислите криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой y=lnx от
точки А(1, 0) до точки В(е, 1). Сделайте чертеж.