№ 1.(2) Выполните умножение указанных матриц:

Решение. Умножение согласованных матриц производится по правилу «строка на столбец».

В нашем случае матрицы согласованы, так как в первой матрице 4 столбца, а во второй матрице 4 строки. Значит, их можно перемножить. Получим:

= =

= .

Ответ: .

Назад

№ 2.(2) Найдите ранг данной матрицы:

.

Решение. Данную матрицу путем элементарных преобразований строк приводим к ступенчатому виду без нулевых строк:

А=~~~~.

В полученной ступенчатой матрице две строки. Значит, ранг матрицы А равен двум, т.е. r(A)=2.

Ответ: r(A)=2.

Назад

№ 3.(2) Вычислите данный определитель третьего порядка двумя способами:

а) по правилу треугольников;

б) методом приведения к треугольному виду;

в) методом разложения определителя по элементам какой-либо строки (или столбца):

Решение.

а) По правилу треугольников.

б) Методом приведения к треугольному виду.

Ответ.

в) Вычисление определителя можно осуществить, воспользовавшись теоремой: «определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения».

В нашем случае разложим определитель, например, по элементам второго столбца, получим:

В качестве иллюстрации разложим этот же определитель по элементам первой строки, получим:

Ответ.

Замечание. Вполне очевидно, что применять эту теорему надо грамотно с точки зрения оптимальности решения. В нашем случае, конечно же, удобнее было бы разложить определитель либо по второй строке, либо по третьему столбцу, т.к. один из элементов в них равен нулю.

Назад

№ 4.(2) Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера:

А)

Решение. Вычисляем главный определитель системы линейных уравнений:

Значит, система линейных уравнений имеет единственное решение.

Вычисляем вспомогательные определители:

По формулам Крамера получаем:

Значит, решение системы таково:

Ответ.

Б)

Решение. Вычисляем главный определитель системы линейных уравнений:

Значит, система либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений.

Вычисляем вспомогательные определители:

Так как D = 0, а = –4 ¹ 0, то система линейных уравнений несовместна.

Ответ: Æ.

Назад

№ 5.(2) Вычислите определитель данной матрицы:

Решение.

Ответ: 1.

Замечания к вычислениям.

1) Четвертый столбец, умноженный на (–2), прибавлен к третьему столбцу. Затем четвертый столбец, умноженный на 2, прибавлен ко второму столбцу. После чего определитель разложен по четвертой строке.

2) Вторая строка, умноженная на (–1), прибавлена к третьей строке. Затем, вторая строка, умноженная на (–2), прибавлена к четвертой строке. После чего определитель разложен по второму столбцу.

3) Определитель третьего порядка разложен по второй строке.

Назад

№ 6.(2) Запишите данную систему линейных уравнений в матричной форме и решите ее, используя обратную матрицу:

Решение. Введем обозначения:

Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

Для того чтобы найти матрицу Х умножим последнее уравнение на матрицу А^–1 слева и получим:

А^–1× А × Х = А^–1 × В или Е × Х = А^–1 × В или Х = А^–1 × В.

Для матрицы А найдем обратную матрицу:

~~ ~

~ ~ ~

~~ .

Значит, .

Тогда получаем:

.

Значит,

Ответ: (2, 3, 4).

Назад

№ 7.(2) Исследуйте и решите системы линейных уравнений методом Гаусса.

А)

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду без нулевых строк:

(-3)

(-2)

+

+

~ ~

+

+

~ (–13)(–5) ~ ~

~

·5

~ .

Полученная ступенчатая матрица имеет «треугольный» вид. Это означает, что система линейных уравнений имеет единственное решение.

Продолжаем преобразование матрицы « снизу вверх»:

·

+

+

· 2

+

~ ~

3

(–1)

~

~

~

+

~

(–1)

+

+

~ .

От последней матрицы переходим к системе линейных уравнений:

Проверка. Подставим в систему линейных уравнений найденное решение и получим:

Û

Получены верные числовые равенства. Это означает, что система линейных уравнений решена верно.

Ответ. Система линейных уравнений определённа, ее единственное решение: (1, 0, –1, 2).

Заметим, что подобную проверку выполнять каждый раз не обязательно.

Б)

Решение. Запишем расширенную матрицу системы линейных уравнений и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду без нулевых строк:

(-1)

(-2)

(-3)

~

+

~

+

+

~ (–1)(–1) ~

~

~.

Полученная ступенчатая матрица имеет, «трапецеидальный» вид. Это означает, что система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Продолжаем преобразования матрицы:

+

· –2

~ ~

Переходим к системе линейных уравнений:

Û

Получили общее решение системы линейных уравнений. Его можно записать в виде:

.

Проверка. Выполним необязательную проверку. Для этого находим одно из частных решений: если х₃ = 5, х₄ = 5, то (–3, –3, 5, 5). Подставим его в систему линейных уравнений и получим:

Û

Получены верные числовые равенства. Можно надеяться, что общее решение системы линейных уравнений найдено верно.

Ответ. Система линейных уравнений совместна и неопределённа. Ее общее решение: .

В)

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы линейных уравнений и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду без нулевых строк:

(–2) (–3) (–1)

~

+

+

+

~ ~

~

~

~

~

~

~ ~ (–11)(–7)

·(-5)

~

~ ~ ~

~

~

Последняя строка матрицы ступенчатого вида соответствует уравнению 0х₁ + 0х₂ + 0х₃ + 0х₄ = –1, которое является противоречивым. Значит, система линейных уравнений решений не имеет, т.е. является несовместной.

Ответ: .

Назад

№ 8. (2)По расширенной матрице системы линейных уравнений выясните вид системы:

.

Решение. При помощи элементарных преобразований строк приведем эту матрицу к ступенчатому виду без нулевых строк.

Получим:

~~.

Получена матрица ступенчатого вида без нулевых строк. Мы видим, что ранг основной матрицы равен 3, и ранг расширенной матрицы равен 3 (эти матрицы имеют по три нулевые строки). И в нашей системе - три неизвестных. Так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система линейных уравнений является совместной и определенной.

Ответ: система совместна и определена.

Назад

№ 9.(2). Выясните, совместна ли данная система линейных неравенств и если «да», то найдите общее решение двумя способами: методом исключения переменных и методом сведения к решению системы линейных уравнений; при каждом способе решения найдите одно частное решение:

Решение:

1. Исследуем систему линейных неравенств на совместность. Для этого воспользуемся критерием несовместности: система линейных неравенств

несовместна тогда и только тогда, когда существуют действительные числа λ≥, …,λ_m≥0 такие, что λ₁+…+ λ_m=0, а соответствующая линейная комбинация свободных членов λ₁+…+ λ_m<0.

В нашем случае =(2,-2,-7), =(1,1,1),=(-1,-3,-2),

= (-1,1,-5). Найдем неотрицательную линейную комбинацию λ₁+ λ₂+ λ₃+ λ₄=0, где λ₁≤0, λ₂≤0, λ₃≤0, λ₄≤0.

Имеем: λ₁(2,-2,-7)+ λ₂(1,1,1)+ λ₃(-1,-3,2)+ λ₄(-1,1,-5)=0.

Отсюда получаем однородную систему линейных уравнений.

Решим систему методом Гаусса.

~ ~ ~~~ ~~~.

Записываем соответствующую систему линейных уравнений:

Видим, что неотрицательное решение является нулевым: λ₁=λ₂=λ₃=λ₄=0. Находим соответствующую комбинацию свободных членов:

λ₁+ λ₂+ λ₃+ λ₄= 0+ 0+ 0+ 0=0. таким образом, условие несовместимости не выполнено.

Ответ: данная система линейных неравенств совместна.

2. Решим систему методом исключения переменных. Уединим переменную X₁ в каждом неравенстве:

Находим двусторонние ограничения х₁.

Исключаем из неравенств переменную х_1, пользуясь свойством транзитивности отношения "меньше":

Уединим переменную х₂:

Находим двусторонние ограничения на х_г:

Исключим переменную х_г и найдем ограничения на переменную х₃:

Переписывая двусторонние ограничения на х₁ и х₂ и ограничение на х₃, получаем общее решение, которое и составляет ответ.

Ответ. Общее решение

3. Находим частное решение. Так как х₃ ≥ 0, то выберем, например, х₃ = 1, и находим ограничения на переменную х₂:

Следовательно, о,375 < х₂ < 5 .

Выберем, например х₂ = 2, и найдем ограничения на переменную х₁:

Таким образом, -3 < х₁ < 1. Выберем, например х, = -1, и получим частное решение (-1, 2, 1).

Ответ. Одним из частных решений данной системы линейных неравенств является (-1,2,1).

4. Решим данную систему линейных неравенств методом сведения к системе линейных уравнений.

Вводим новые неотрицательные переменные у₁, у₂, у₃, у₄ так, что:

Полученную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса.

Отсюда получаем:

Так как у₁≥ 0, то -153 + 34 у₂ + 17 у₃ + 15 у₄≥ 0. Отсюда находим ограничения на переменную у₂:

У₂ ≥153/34-(1/2)*у₃-(15/34)*у₄, У₂ ≥0.

Ответ. Общее решение:

5) Находим частное решение. Выбираем, например, у₄=1, у₃=0. Тогда у₂≥138/34. Выбираем у₂=5, тогда х₁=28-32,5-2,5=7; х₂=-15+17,5+1,5=4; х₃=-9+10+1=2.

Ответ: частное решение (-7,4,2).

Назад

№ 10(2). Решите систему линейных неравенств графическим методом:

Решение. Рассмотрим первое неравенство х-у≥1. Множество

всех его решений представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой х-у = -1. Строим эту прямую по двум точкам, например, по

точкам пересечения прямой с осями координат (0,1) и

(-1, 0). Подстановкой убеждаемся, что (0,0) является решением данного неравенства, а значит начало координат принадлежит полуплоскости решений неравенства. Отмечаем эту полуплоскость стрелкой, направленной в сторону, содержащую начало координат. (Если бы начало координат не принадлежало полуплоскости, решений, то стрелку изобразили бы от прямой в противоположную сторону.) Аналогично строим прямые Зх + 2у = 2, 4х + 3у = -12 и 2х + у = -4 с соответствующими стрелками. Область решений данной системы линейных неравенств представляет собой пересечение полуплоскостей, помеченных стрелками. На рисунке искомая область заштрихована.

Назад