№ 1.(6) Вычислите интеграл а) , б) .

а) Решение.

Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как 1=sin²x+cos²x, то интеграл можно записать в виде

Применяя суммы, получаем, правило интегрирования

Получили два табличных интеграла. По формулам IX и X находим:

б) Решение.

Интеграл табличный, поэтому можно переходить к непосредственному интегрированию. По формуле XVI , где а=4, получаем:

Назад

№ 2.(6) Вычислить определенный интеграл.

Решение.

. Сделаем замену t=cosx, если х=0, то t=1, если х=/4, то t=0 dt=-sinxdx

Ответ: 2/3.

Назад

№ 3.(6) Исследовать сходимость а), б) в) , где - некоторое число.

Решение.

а) По определению, имеем

то есть интеграл сходится.

б) Решение.

Полагая с=0, по определению имеем интеграл расходится, так как

в) Решение. 1) если 0 то для любого R>0:

2) если =1, то для любого R>0

Таким образом, данный интеграл сходится при >1 и расходится при

Назад

№ 4.(6) а)Найти область фигуры, ограниченной линиями f(x)=1-x² и y=0.

Решение. Можно считать, что эта фигура ограниченна осью Ох, прямыми х=-1, х=1 и графиком функции f(x)=1-x², поэтому, по формуле, ее площадь

у

(кв.ед.).

У=0

1

Ответ: (кв.ед.).

-1

0

х

1

б) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y₁=f₁(x)=1-x², y₂=f₂(x)=x²+2, x=0, x=1.

Решение.

Данная фигура заключена между графиками функций f₁(x) и f₂(x), прямыми х=0, х=1. поэтому ее площадь находим с помощью формулы : (кв.ед)

Ответ: (кв. ед.).

Назад

№ 5.(6) Пользуясь разложением в ряд подынтегральной функции, найти с точностью до 0,0001.

Решение.

Разложим подынтегральную функцию в ряд со степенной переменной t. Для этого найдем значения функции производных в точке х=0:

f(0)=1, f’(0)=-1/2, f’’(0)=3/4, f’’’(0)=-15/8. Тогда, +… при t=x². Отсюда:

так как

Х=1

Х=0

у

Ответ:

Назад