Линейная зависимость векторов.

 

Основные операторы, используемые при решении типичных задач.

 

 

array(1..n,[x1,...,xn]); vector([x1,...,xn]); vector(n,[x1,...,xn]) - операторы задания векторов;

x1, ... ,xn - элементы вектора;

n - размерность вектора;

 

> a:=array(1..4,[1,2,3,4]);

 

> b:=vector([1,-2/5,1/3,0]);

> vector(4,[1,-2/5,1/3,0]);

 

 

angle(u,v) - вычисление угла между векторами (используется формула косинуса угла из скалярного произведения двух векторов);

u,v - векторы;

 

> angle( vector([1,0]), vector([0,1]) );

 

matadd(A,B) - оператор векторного сложения;

A,B - векторы;

 

> matadd(a,b);

 

evalm(vector expression) - оператор выполнения арифметических операций над векторами;

vector expression - некоторое выражение;

 

> evalm(2*a-3*b);

 

basis([v1,v2,...,vk]) - оператор нахождения базиса системы векторов;

v1,v2,...,vk - набор векторов;

 

 

 

dotprod(u,v) - оператор вычисления скалярного произведения двух векторов;

u,v - векторы;

 

> dotprod(a,b);

 

 

Задания.

 

 

Даны три пятимерных арифметических вектора: a=(-2, 4, 6, 8, 1), b=(1, 0, 2, -4, -3), c=(-3, 1, 0, 2, -1). Найдите компоненты следующей линейной комбинации этих векторов: 2a+3b-4c.

 

Зададим векторы:

> with (linalg): A:=vector(5,[-2,4,6,8,1]);

> B:=vector(5,[1,0,2,-4,-3]);

> C:=vector(5,[-3,1,0,2,-1]);

Найдем линейную комбинацию данных векторов:

> evalm(2*A+3*B-4*C);

 

 

 

 

Установите, является ли данная система векторов линейно зависимой, и если да, то найдите эту зависимость и укажите несколько конкретных зависимостей.

А)

Зададим векторы:

 

a1:=vector(4,[1,2,3,4]);

 

> a2:=vector(4,[2,1,2,3]);

 

> a3:=vector(4,[3,2,1,2]);

> a4:=vector(4,[4,3,2,1]);

Найдем базис данной системы векторов:

 

basis([vector(4,[1,2,3,4]),vector(4,[2,1,2,3]),vector(4,[3,2,1,2]),vector(4,[4,3,2,1])]);

Ответ: система векторов линейно независима.

 

 

B)

Зададим векторы:b1:=vector(4,[1,3,2,2]);b2:=vector(4,[2,2,3,2]);b3:=vector(4,[3,1,1,2]);b4:=vector(4,[1,1,-1,1]);

 

Выясним, будет ли векторное уравнение x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0 иметь хотя бы одно ненулевое решение.

Для этого сначала составим с.л.у., затем подвергнем преобразованиям ее основную матрицу.

 

> B:=matrix(4,4,[1,2,3,1,3,2,1,1,2,3,1,-1,2,2,2,1]);

> gaussjord(B);

 

Общее решение:  {(  x4,   x4,  x4, x4 ), x4 - любое действительное число}.

Линейная зависимость имеет вид:   x4a1 +  x4a2  x4a3 + x4a4 = 0, где x4 - любое действительное число.

Положим x4 = 1, получим конкретную  линейную зависимость: 5a1 - 7a2 + 5a3 - 6a4 = 0.

 

 

 

Найти базис данной конечной системы векторов, и векторы, не входящие в базис, выразить через базисные векторы.

 

Зададим векторы:

 с1:=vector([1,2,3,4]);с2:=vector([0,1,0,0]);с3:=vector([1,1,3,4]);с4:=vector([0,0,1,1]);с5:=vector([-1,-1,2,1]);

Найдем базис данной системы векторов:

> basis({vector([1,2,3,4]),vector([0,1,0,0]),vector([1,1,3,4]),vector([0,0,1,1]),vector([-1,-1,2,1])});

 

( c1, c2, c4 ) - один из базисов системы векторов.

Выразим вектор c3 через векторы базиса:

> C:=matrix(4,4,[1,0,0,1,2,1,0,1,3,0,1,3,4,0,1,4]);

> gaussjord(C);

 

Получим:  c3 = c1 - c2.

Выразим вектор c5 через векторы базиса:

 

 

 

 

 

A:=matrix(4,4,[1,0,0,-1,2,1,0,-1,3,0,1,2,4,0,1,1]);

 

 

> gaussjord(A);

 

Получим:  c5 = -c1 + c2 + 5c4.

Ответ:    ( c1, c2, c4 ) - один из базисов системы векторов,

               c3 = c1 - c2, c5 = -c1 + c2 + 5c4.

 

 

 

Найти фундаментальный набор решений для данной однородной системы линейных уравнений.

 

 

> M:=matrix(4,5,[1,1,1,1,1,3,2,1,1,-3,0,1,2,2,6,5,4,3,3,-1]);

> gaussjord(M);

Переходим к системе линейных уравнений:

x1 = x3 + x4 +5x5,

x2 = -2x3 -2x4 -6x5.

X1	X2	X3	X4	X5
1	-2	1	0	0
1	-2	0	1	0
5	-6	0	0	1

 

Ответ: общее решение:  X = k1(1,-2,1,0,0) + k2(1,-2,0,1,0) + (5,-6,0,0,1), где k1,k2,k3 любые действительные числа.