Системы линейных уравнений.

 

Основные операторы, используемые при решении типичных задач.

 

 

addrow(A, r1, r2, m) – прибавление строки r1, умноженной на число m, к строке r2;

addcol(A, c1, c2, m) - прибавление столбца с1, умноженного на число m, к столбцу с2;

  A                   - матрица;

   r1, r2, c1, c2 - индексы строк (столбцов);

   m        - число.

 

 

mulrow(A,r,expr) - умножение строки матрицы на число;

mulcol(A,c,expr) - умножение столбца матрицы на число;

A - матрица;

r,c - индекс строки (столбца);

expr - число;

 

swaprow(A,r1,r2) - перемена местами двух строк матрицы;

swapcol(A,c1,c2)  - перемена местами двух столбцов матрицы;

A - матрица;

r1,c1,r2,c2 - индексы переставляемых строк (столбцов);

 

 

 

Задания.

 

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса):

 

 

Зададим расширенную матрицу М системы:

 

> M:=matrix(4,5,[4,-1,-1,1,-8,1,2,0,2,1,0,-1,1,-1,2,1,2,-1,0,-2]);

 

Последовательно приводим матрицу к треугольному виду.

Для этого сначала к первой строке матрицы M прибавим вторую, умноженную на число –3:

 

> M1:=addrow(M,2,1,-3);

Затем первую строку умножим на –1 и прибавим ко второй:

> M2:=addrow(M1,1,2,-1);

Первую строку умножим на –1 и прибавим к четвертой:

 

> M3:=addrow(M2,1,4,-1);

Продолжаем приведение матрицы к треугольному виду:

> M4:=addrow(M3,2,4,-1);

> M5:=addrow(M4,3,2,8);

> M6:=addrow(M5,2,3,1);

> M7:=addrow(M6,4,3,9);

> M8:=addrow(M7,3,4,1);

> M9:=addrow(M8,4,3,-20/22);

> M10:=addrow(M9,4,2,-1/22);

> M11:=addrow(M10,4,1,-5/22);

> M12:=addrow(M11,3,2,-9);

> M13:=addrow(M12,3,1,1);

> M14:=addrow(M13,2,1,7);

Ответ:  x1=-1,  x2=1,  x3=3,  x4=0.

 

Решение системы линейных уравнений с параметром:

 

 

Зададим основную матрицу С системы:

 

> C:=matrix(3,3,[a,-1,-1,1,-a,-1,1,-1,-a]);

Зададим столбец свободных членов в виде вектора:

 

> T:=vector(3,[1,a,1]);

Найдем произведение матрицы, обратной для С, и вектора Т: 

 

> Y:=multiply(inverse(C),T);

 

 

Ответ:       x1= , 

                  x2= ,

                  x3=   .

Даны арифметические векторы. Найдите все арифметические векторы, ортогональные данным векторам.

 

> a1:=vector(5,[-1,-1,0,-5,1]);

> a2:=vector(5,[2,0,-1,1,1]);

> a3:=vector(5,[1,-1,1,-2,-1]);

Арифметические векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

 

 

> F:=matrix(4,4,[-3,-2,1,2,1,0,-2,-2,2,1,-2,1,4,0,1,2]);

 

> G:=vector(4,[-3*x4,-4*x4,-3*x4,x4]);

> Z:=multiply(inverse(F),G);