3. Содержание учебной дисциплины.

Введение. История развития алгебры, современной состояние алгебры как науки и как учебной дисциплины. Роль ал-гебры в системе математического образования. Структура учебной дисциплины “алгебра”.

Раздел I. Системы линейных уравнений. Тема 1.1. Основные определения и понятия, связанные с системами уравнений. Роль систем уравнений в науке и в жизни. Определение системы линейных уравнений. Элементарные пре-образования систем линейных уравнений. Матрица системы линейных уравнений как арифметический вектор. Требования к знаниям: знать все основные определения понятий, связанных с системой линейных уравнений, элементарные преобразования систем линейных уравнений, доказательство теоремы о элементарных преобразованиях системы. Требования к умениям: уметь выполнять все элементарные преобразования систем линейных уравнений, оп-ределять вид систем линейных уравнений по числу решений составлять основную и расширенную матрицы систем ли-нейных уравнений, записывать решение систем линейных уравнений в виде арифметического вектора.

Тема 1.2. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Свойства отношения “равносильности” сис-тем. Метод Гаусса. Матрица ступенчатого вида. Матричная форма записи решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Системы линейных уравнений с параметрами. Требования к знаниям: знать свойства отношения равносильности, доказательство метода Гаусса. Требования к умениям: уметь записывать решение систем линейных уравнений как обычным способом, так и в матричной форме и по ходу преобразований делать соответствующие выводы, уметь решать и исследовать системы линейных уравнений с параметрами.

Тема 1.3. Однородная система линейных уравнений. Нулевые решения однородных систем линейных уравнений. Свойства решений однородной системы линей-ных уравнений. Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решениями соответствую-щей ей однородной системы линейных уравнений. Требования к знаниям: знать доказательство теоремы о ненулевых решениях однородной системы линейных уравнений, доказательства свойств решений однородной системы линейных уравнений. Требования к умениям: уметь по виду однородной системы линейных уравнений определять наличие ненуле-вых решений, с помощью метода Гаусса находить эти решения, пользуясь свойствами решений однородной системы линейных уравнений, находить частные решения.

Раздел II. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Тема 2.1. Определение n-мерного вектора и операции над n-мерными векторами. От геометрических векторов – к арифметическим. Определение арифметического n-мерного вектора. Опе-рации над арифметическими векторами. Понятие арифметического n-мерного векторного пространства.

Требования к знаниям: знать определения n-мерного арифметического вектора и операций над ними, законы операций, определение n-мерного векторного пространства. Требования к умениям: уметь выполнять действия над n-мерными арифметическими векторами, приводить конкретные примеры векторных пространств.

Тема 2.2. Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов. Линейная комбинация нескольких векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Признак линейной зависимости системы векторов. Простейшие свойства линейной зависимости векторов. При-меры задач на линейную зависимость. Линейная выражаемость одной системы векторов через другую.

Требования к знаниям: знать основные определения, доказательства признака линейной зависимости систе-мы векторов, основных свойств линейной зависимости и теоремы о линейной выражаемости одной системы векторов через другую. Требования к умениям: уметь находить линейные комбинации нескольких векторов, исследовать системы векторов на линейную зависимость и в каждом случае устанавливать виды зависимостей.

Тема 2.3. Базис системы векторов. Определение базиса системы векторов. Теорема о базисах. Базис пространства Rn. Ранг системы векторов. Нахождение базиса данной системы векторов. Эквивалентность системы векторов. Требования к знаниям: знать определение базиса, ранга системы векторов и эквивалентных систем векторов, доказательства теоремы о базисах и теоремы о номерах векторов, входящих в базис, основных свойств эквивалентных систем векторов. Требования к умениям: уметь находить базис и ранг системы векторов и небазисные векторы выражать через базисные, уметь устанавливать: эквивалентны ли две данные системы векторов или нет.

Тема 2.4. Векторное подпространство, его ранг и размерность. Определение подпространства. Примеры подпространств. Подпространство как линейная оболочка не-скольких векторов. Базис и размерность подпространства. Фундаментальный набор решений (ФНР). Способ по-строения ФНР. Требования к знаниям: знать определение подпространства, доказательство признака подпространства, обоснование построения ФНР. Требования к умениям: уметь приводить примеры подпространств, строить подпространства как линейную оболочку нескольких векторов, находить базис и размерность подпространства, строить ФНР для однородной систе-мы линейных уравнений.

Раздел III. Алгебра матриц. Тема 3.1. Ранг матрицы. Определение строчного и столбцового рангов матрицы. Вычисление строчного ранга матрицы. Совпадение строчного и столбцового рангов матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности системы ли-нейных уравнений. Требования к знаниям: знать определения строчного и столбцового рангов матрицы, доказательства и фор-мулировки основных теорем: о равенстве столбцового и строчечного рангов матрицы, критериев совместности и опре-деленности системы линейных уравнений. Требования к умениям: уметь вычислять ранг матрицы с помощью элементарных преобразований, исследо-вать системы линейных уравнений на совместность и определенность с помощью соответствующих критериев.

Тема 3.2. Основные операции над матрицами и свойства этих операций. Сложение матриц. Законы сложения. Вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матрицы. Законы умножения. Транспонирование матрицы. Требования к знаниям: знать правила выполнения операций над матрицами, основные свойства операций и доказательства этих свойств. Требования к умениям: уметь складывать, вычитать матрицы, умножать матрицу на число, умножать матрицы, находить транспонированную матрицу.

Тема 3.3. Обратная матрица и ее нахождение. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие обратимости, матрицы n-го порядка. Единст-венность обратной матрицы. Требования к знаниям: знать определение обратной матрицы, формулировку и доказательство необходимого и достаточного условия обратимости матрицы n-го порядка, доказательство единственности обратной матрицы. Требования к умениям: уметь находить обратную матрицу и проверять правильность полученного результа-та.

Тема 3.4. Запись и решение квадратной системы линейных уравнений в матричной форме. Запись системы линейных уравнений в матричной форме. Матричный способ решения систем линейных уравнений. Матричные уравнения. Требования к знаниям: знать, как записать систему линейных уравнений в матричной форме и сущность матричного способа решения системы линейных уравнений. Требования к умениям: уметь решать систему линейных уравнений матричным способом, а также различные виды матричных уравнений.

Раздел IV. Подстановки. Тема 4.1. Перестановки. Понятие перестановки. Четность перестановки. Обратная перестановка. Требования к знаниям: знать определения: подстановки, инверсии, транспозиции, четной и нечетной пере-становок, свойства транспозиций. Требования к умениям: уметь считать число инверсий, определять четность перестановки.

Тема 4.2. Умножение подстановок. Определение подстановки. Четность подстановки. Умножение подстановок, доказательства свойств ум-ножения подстановок. Требования к знаниям: знать определение подстановки четной и нечетной подстановки, умножения подста-новок, доказательства свойств умножения подстановок. Требование к умениям: уметь определять четность подстановки, находить заданное произведение подстано-вок и им обратных.

Тема 4.3. Циклические подстановки. Циклическая подстановка. Разложение подстановки в произведении независимых циклов. Требования к знаниям: знать определение циклической подстановки, доказательство теоремы о единствен-ности разложения подстановки в произведение независимых циклов. Требования к умениям: уметь раскладывать подстановку в произведение независимых циклов.

Тема 4.4. Транспозиции. Понятие транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Основные свойства поня-тия четности подстановки. Знак подстановки. Требования к знаниям: знать определения транспозиции, определение четности подстановки через транспо-зиции, знака подстановки, доказательства теорем о разложении подстановки в произведение транспозиций и о знаке произведения транспозиций. Требования к умениям: уметь раскладывать подстановку в произведение транспозиций, находить четность и знак подстановки.

Раздел V. Определители.
Тема 5.1. Определитель квадратной матрицы. Определитель n-го порядка. Определители 2-го и 3-го порядков. Требования к знаниям: знать определение определителя, определителя 2-го порядка и определителя 3-го по-рядка. Требования к умениям: уметь определять с каким знаком входит тот или иной член в определитель n-го по-рядка, вычислять определители 2-го и 3-го порядков.

Тема 5.2. Основные свойства определителей. Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Вычисление определителей n-го порядка. Требование к знаниям: знать определение минора и алгебраического дополнения элемента, формулировки и доказательства основных свойств определителей, доказательства теоремы о разложении определителя по элементам какой-либо строки (или столбца) и теоремы о сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгеб-раические дополнения соответствующих элементов другой строки (или столбца). Требования к умениям: уметь вычислять определители любого порядка.

Тема 5.3. Основные приложения определителей. Приложения определителей к матрицам. Приложение определителей к системам арифметических век-торов. Приложение определителей к системам линейных уравнений. Требования к знаниям: знать формулировки и доказательства теорем о приложении определителей к нахо-ждению обратной матрицы и ранга матрицы, к вырожденности и невырожденности матрицы, к линейной зависимо-сти или линейной независимости систем векторов, вывод формул Крамера. Требования к умениям: уметь с помощью определителей устанавливать вырожденность или невырож-денность матрицы, находить обратную матрицу, находить ранг матрицы, решать системы линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - Крамера.

Раздел VI. Основные алгебраические структуры. Тема 6.1. Бинарная операция на множестве. Операции. Виды бинарных операций. Нейтральные элементы. Регулярные элементы. Симметричные эле-менты. Аддитивная и мультипликативная форма записи операций. Алгебры. Требования к знаниям: знать определения бинарной операции, нейтрального регулярного и симметричного элементов, алгебры, виды бинарных операций, формулировки и доказательства теорем, выражающих основные свойст-ва нейтральных регулярных и симметричных элементов, а также свойства бинарных операций. Требования к умениям: владеть различными формами записи алгебраических операций, уметь доказывать является ли операция бинарной алгебраической, проверять является ли элемент нейтральным, регулярным или симмет-ричным относительно указанной операции, уметь приводить примеры бинарных операций, обладающих заданными свойствами.

Тема 6.2. Элементы теории групп. Определение группы, примеры групп. Основные свойства групп. Подгруппы. Полугруппы. Порядок элемента группы. Циклические группы. Требования к знаниям: знать определение групп, подгруппы, полугруппы, порядка элемента группы и цикличе-ской группы, формулировки и доказательства свойств группы. Требования к умениям: уметь приводить примеры групп, выяснять, является ли относительно указанной опе-рации заданное множество группой, а заданное подмножество подгруппой, находить для данного элемента обратный.

Тема 6.3. Кольцо. Понятие кольца. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Требования к знаниям: знать определения кольца, подкольца, формулировка и доказательства свойств кольца и признака подкольца. Требования к умениям: уметь приводить примеры колец, проверять является ли множество с заданными опе-рациями кольцом, а заданное подмножество – подкольцом. Тема 6.4. Поле. Понятие поле. Примеры полей. Простейшие свойства полей. Поле рациональных чисел. Упорядоченные поля. Подполе. Требования к знаниям: знать определения поля, подполя, упорядоченного поля, поля рациональных чисел, фор-мулировки и доказательства основных свойств поля и признака подполя. Требования к умениям: уметь приводить примеры полей и подполей, проверять, является ли множество с за-данными операциями полем, а заданное подмножество – подполем.

Раздел VII. Поле комплексных чисел. Тема 7.1. Определение поля комплексных чисел. Необходимость расширения поля действительных чисел. Построение системы комплексных чисел. Поле комплексных чисел. Требования к знаниям: знать определение поля комплексных чисел и один из способов построения системы комплексных чисел как у множества, состоящего из упорядоченных пар действительных чисел. Требования к умениям: уметь выполнять действия над комплексными числами, записанными в виде упорядо-ченных пар действительных чисел.

Тема 7.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Запись комплексных чисел в алгебраической форме. Правила выполнения операций над комплексными чис-лами в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа и их свойства. Геометрическое изображение ком-плексных чисел. Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел. Требования к знаниям: знать алгебраическую форму комплексного числа и правила выполнения действий над комплексными числами в алгебраической форме, геометрическую интерпретацию сложения и вычитания, определение сопряженных комплексных чисел и их основные свойства. Требования к умениям: уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме, гео-метрически изображать комплексные числа, находить модуль и аргумент комплексного числа.

Тема 7.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Представление комплексных чисел в тригонометрической форме. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение комплексных чисел в степень. Извлечение корня из комплексных чисел. Корни из единицы. Корни квадратные из комплексного числа. Требование к знаниям: знать тригонометрическую форму комплексного числа, правила умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа, вид корней из единицы и свойства корней из единицы. Требования к умениям: уметь переходить от алгебраической формы записи комплексного числа к тригоно-метрической (и наоборот), выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме, записывать некоторые геометрические утверждения на языке комплексных чисел.

Раздел VIII. Векторные пространства. Тема 8.1. Векторное пространство над произвольным полем. Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств. Простейшие следствия из оп-ределения векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Подпростран-ства векторного пространства. Примеры подпространств. Сумма и пересечение подпространств. Векторные мно-гообразия. Требования к знаниям: знать определение векторного пространства над полем, векторного подпространст-ва, линейно зависимых и линейно независимых систем векторов, формулировки и доказательства простейших следствий из определения векторного пространства над полем, формулировки и доказательства основных свойств линейной зави-симости систем векторов. Требования к умениям: уметь приводить примеры векторных пространств и подпространств, сумм подпро-странств, проверять данную систему векторов на линейную зависимость.

Тема 8.2. Базис векторного пространства и его размерность. Базис системы векторов. Теорема о базисах. Конечномерные векторные пространства. Базис конечномер-ного векторного пространства и его размерность. Требования к знаниям: знать определение базиса системы векторов, базиса и размерности конечномерного векторного пространства, формулировку и доказательство теоремы о базисах. Требования к умениям: уметь находить базис векторного пространства над полем P, когда Р принимает зна-чение или С, или R, или Q.

Тема 8.3. Координаты вектора в данном базисе и в разных базисах. Координаты вектора в данном базисе. Простейшие свойства координат. Связь между различными базиса-ми пространства. Связь между координатами вектора в различных базисах. Множество решений систем линей-ных уравнений как векторное многообразие. Требования к знаниям: знать, как вводятся координаты вектора в данном базисе, формулировки и доказа-тельства основных свойств координат, как связаны между собой различные базисы и координаты вектора в разных базисах. Требования к умениям: уметь находить базис и размерность суммы подпространств и их пересечений, коор-динаты данного вектора в различных базисах, записывать в векторной форме множество решений систем линейных уравнений, проверять является ли данная система векторов базисом и выражать небазисные векторы через базисные, находить матрицу перехода от одного базиса к другому.

Тема 8.4. Изоморфизм векторных пространств. Изоморфизм n-мерного векторного пространства над полем Р и пространства Рn. Изоморфизм векторных пространств. Основные свойства изоморфизмов. Основная теорема об изоморфизме векторных пространств. Требования к знаниям: знать определение изоморфизма векторных пространств, формулировки и доказа-тельства основных свойств изоморфизмов и основной теоремы об изоморфизме векторных пространств. Требования к умениям: уметь приводить примеры изоморфных векторных пространств.

Раздел IX. Векторные пространства со скалярным умножением. Тема 9.1. Скалярное произведение векторов. Определение скалярного произведения. Задание скалярного произведения в конечномерном векторном про-странстве. Выражение скалярного произведения в координатах. Модуль вектора. Угол между векторами. Ортого-нальность. Неравенство Коши - Буняковского. Требования к знаниям: знать определения скалярного произведения векторов, модуля вектора. Угла между векторами, ортогональных векторов, неравенство Коши -Буняковского, выражение скалярного произведения в коорди-натах. Требования к умениям: уметь приводить примеры векторных пространств со скалярным умножением, нахо-дить модуль вектора и косинус угла между векторами, скалярное произведение двух векторов.

Тема 9.2. Процесс ортогонализации. Ортогональная система векторов. Существования ортогонального базиса. Ортогональное дополнение к подпространству. Процесс ортогонализации. Требования к знаниям: знать определение ортогональной системы векторов, ортогонального и ортонормиро-ванного базисов и ортогонального дополнения к подпространству, доказательства лемм о линейной независимости ор-тогональной системы векторов и о существовании ортогонального базиса, формулировку и доказательство теоремы о сумме любого подпространства К и его ортогонального дополнения К1, вывод формул процесса ортогонализации. Требования к умениям: уметь приводить примеры ортогональных систем векторов, находить ортогональный и ортонормированный базисы, ортогональную проекцию одного вектора на другой, ортогональную проекцию заданного подпространства К.

Тема 9.3. Евклидово векторное пространство. Определение евклидов векторного пространства. Основные свойства векторов евклидова векторного про-странства. Изоморфизм евклидовых векторных пространств. Требования к знаниям: знать определения евклидова векторного пространства, положительно определенного скалярного умножения, косинуса угла между двумя векторами, формулировки и доказательства основных свойств век-торов евклидова векторного пространства, определение изоморфизма двух векторных пространств и формулировку и доказательство теоремы, об изоморфизме евклидовых векторных пространств, формулировку и доказательство тео-ремы о существовании и единственности скалярного умножения, относительно которого данный базис является орто-нормированным. Требования к умениям: уметь задавать скалярное произведение так, чтобы данная линейно независимая сис-тема векторов оказалась ортогональной, находить все векторы, ортогональные заданным.

Раздел X. Линейные операторы. Тема 10.1. Определение и задание линейного оператора. Линейные отображения и операторы. Примеры линейных операторов. Основные свойства линейного опе-ратора. Задание линейного оператора образами базисных векторов. Ядро и образ линейного оператора. Требования к знаниям: знать определение линейного оператора его ядра и образа, формулировки и доказа-тельства основных свойств линейного оператора, формулировку и доказательство теоремы о связи ранга и дефекта линейного оператора, формулировку и доказательство теоремы о связи. Требование к умениям: уметь приводить примеры линейных операторов, проверять, является ли заданное отображение линейным оператором, находить образ заданного вектора, если известен линейный оператор.

Тема 10.2. Матрица линейного оператора. Определение и примеры. Задание линейного оператора с помощью матрицы. Связь между матрицами ли-нейного оператора в различных базисах. Действия над линейными операторами. Невырожденные линейные опера-торы. Требования к знаниям: знать определение матрицы линейного оператора, способ задания линейных операто-ров с помощью матриц, формулировку и доказательство теоремы о связи между матрицами линейного оператора в различных базисах, формулировка и доказательства теорем, выражающих правила выполнения действий над операто-рами, различные определения невырожденного оператора. Требования к умениям: уметь находить связь между матрицами линейного оператора в различных базисах, результат сложения операторов, произведение операторов и умножение линейного оператора на число. Приводить примеры матриц линейного оператора, задавать матрицей линейные операторы.

Тема 10.3. Линейные операторы с простым спектром. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристические уравнения. Собственные подпространства. Операторы с простым спектром. Требования к знаниям: знать определение инвариантного подпространства собственного вектора и собст-венного значения, собственного подпространства и оператора с простым спектром, вид характеристического уравне-ния, формулировки и доказательства теорем о характеристическом уравнении, о линейном операторе с простым спек-тром, о возможности приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме. Требования к умениям: уметь находить собственные векторы и собственные значения линейного оператора, выяснять, проводится ли матрица линейного оператора к диагональной форме и находить диагональную форму.

Раздел XI. Кольцо многочленов под областью целостности. Тема 11.1. построение кольца многочленов. Понятие многочлена степени и коэффициентами из данной области целостности. Сумма и произведение многочленов. Свойства суммы и произведения многочленов. Область целостности многочленов относительно сложения и умножения. Требования к знаниям: знать определение многочлена степени n c коэффициентами из данной области цело-стности, нулевого многочлена, суммы и произведения многочленов, формулировки и доказательство того, что множе-ство всех многочленов над областью целостности относительно сложения и умножения образуют область целостно-сти. Требования к умениям: уметь выяснять действия над многочленами, находить значение многочлена, при дан-ном значении переменной, выяснять равны ли многочлены и над какими областями целостности можно рассматривать данный многочлен.

Тема 11.2. Корни многочлена. Деление многочлена с остатком на двучлен (х - с). Схема Горнера. Число корней многочлена. Кратные кор-ни. Требования к знаниям: знать формулировки и доказательства теорем: о делении многочлена на двучлен (х - с), теоремы Безу, о числе корней многочлена, определение корня многочлена, кратного корня. Требования к умениям: уметь выполнять деление многочлена , двучлен (х - с) уголком и с помощью схемы Гор-нера; выяснять, является ли число с корнем многочлена, и находить кратность корня.

Тема 11.3. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Определение многочлена как функции. Алгебраическое определение кольца многочленов. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Требования к знаниям: знать определения многочлена как функции и алгебраическое определение многочлена, доказательство того, что множество многочленов относительно сложения и умножения образует кольцо, доказа-тельство теоремы об алгебраическом и функциональном равенстве многочленов. Требования к умениям: уметь выполнять действия над многочленами.

Раздел XII. Кольцо многочленов над полем. Тема 12.1. НОД двух многочленов. Деление многочленов с остатком. Отношение делимости многочленов. Наибольший общий делитель. Ал-горитм Евклида. Линейная форма НОД. Теоремы о взаимно простых многочленах. Требования к знаниям: знать определения: деления с остатком, отношения делимости, НОД; формулировать и доказывать теоремы о делении с остатком, о взаимно простых многочленах, о линейной форме НОД, доказательства Алгоритма Евклида и основных свойств отношения делимости. Требования к умениям: уметь находить НОД многочленов с помощью алгоритма Евклида, линейную форму НОД.

Тема 12.2. Приводимые и неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены и их свойства. Разложение многочлена в произведение неприводимых множи-телей. Кратные множители. Нахождение НОД и НОК многочленов с помощью разложения многочленов в произ-ведение неприводимых множителей. Требования к знаниям: знать определения неприводимых и приводимых многочленов над полем, формулировки и доказательства свойств неприводимых многочленов, теоремы о существовании и единственности разложения много-члена в произведение неприводимых множителей и теорем о нахождении НОД и НОК двух многочленов. Требования к умениям: уметь находить НОД и НОК многочленов с помощью разложения многочленов в про-изведение неприводимых множителей, разлагать многочлены в произведение неприводимых множителей над данным полем.

Тема 12.3. Производная многочлена. Определение производной. Формула Тейлора. Неприводимые кратные множители и корни. Отделение кратных множителей многочлена. Требования к знаниям: знать определение производной многочлена вывод формулы Тейлора, суть отделения кратных множителей и освобождение от кратных множителей. Требование к умениям: уметь находить производную многочлена, решать задачи с использованием формулы Тейлора, отделять кратные множители (или корни) многочлена.

Раздел XIII. Многочлены над числовыми полями. Тема 13.1. Основная теорема алгебры и следствия из нее. Основная теорема алгебры многочленов. Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел. Уточнение теоремы о факторизации в кольце С [х],количество корней многочлена с комплексными коэффициен-тами. Формулы Виета. Требования к знаниям: знать формулировку основной теоремы алгебры многочленов, формулировки и доказа-тельства следствий из нее (о неприводимых многочленах над полем комплексных чисел, о числе корней многочлена с ком-плексными коэффициентами), вывод формул Виета. Требования к умениям: уметь многочлен с комплексными коэффициентами разложить на множители, нахо-дить многочлен наименьшей степени с данным набором корней, решать задачи на использование формул Виета.

Тема 13.2. Многочлены над полем действительных чисел. Сопряженность мнимых корней многочленов с действительными коэффициентами. Неприводимость мно-гочленов над полем действительных чисел. Уточнение теоремы о факторизации в кольце R[x]. Требования к знаниям: знать формулировки и доказательства следствий из основной теоремы алгебры (о со-пряженности мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами, о неприводимости многочленов над полем действительных чисел, о разложении многочленов на множители в кольце R[x]). Требования к умениям: уметь многочлен с действительными коэффициентами разложить на множители в кольце R[x], составлять многочлен наименьшей степени с заданным набором корней.

Тема 13.3. Алгебраические уравнения 2-ой, 3-ей и 4-ой степеней. Квадратные уравнения. Кубические уравнения. Кубические уравнения с действительными коэффициента-ми. Уравнение четвертой степени. О решении уравнений в радикалах. Требования к знаниям: знать вывод формул решения квадратных уравнений, вывод формулы Кордано. Знать сущность метода Феррари и сведения о решении уравнений в радикалах. Требования к умениям: уметь решать квадратные уравнения с любыми коэффициентами, кубические уравне-ния с помощью формулы Кордано и уравнения 4-ой степени методом Феррари. Уметь исследовать кубические уравнения с действительными коэффициентами.

Тема 13.4. Отделение действительных корней многочленов. Границы корней. Система многочленов Штурма. Теорема Штурма. Приближенное вычисление действи-тельных корней. Требования к знаниям: знать формулировку и доказательство леммы о модуле старшего члена, формулы для вычисления границ действительных корней, определение системы многочленов Штурма и ее свойства (с доказательст-вом их), формулировка и доказательство теоремы Штурма. Требования к умениям: уметь находить границы действительных корней данного многочлена с действитель-ными коэффициентами, для данного многочлена находить систему многочленов Штурма, отделять действительные корни данного многочлена, вычислять действительный корень многочлена с заданной точностью.

Тема 13.5. многочлены над полем рациональных чисел. Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Приводимость многочлена над полем рациональных чисел. Требование к знаниям: знать формулировки и доказательства – необходимого условия, при котором рацио-нальное число может быть корнем данного многочлена и следствий из нее; знать формулировки и доказательства лемм Гаусса, критерия Эйзенштейна. Требования к умениям: уметь приводить примеры неприводимых над Q многочленов данной степени, нахо-дить рациональные корни многочлена с целыми и рациональными коэффициентами, с помощью критерия Эйзенштейна доказывать неприводимость над Q данного многочлена, раскладывать на множители над Q многочлены с целыми ко-эффициентами или доказывать их неприводимость.

Раздел XIV. Многочлены от нескольких переменных. Тема 14.1. Построение кольца многочленов от нескольких переменных. Определение многочлена от нескольких переменных как функции. Нормальная форма многочлена. Другой подход к определению многочлена от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Требования к знаниям: знать, как строится кольцо многочленов от нескольких переменных, формулировку и доказательство леммы о высшем члене многочлена, суть лексикографической записи многочлена, определение нормаль-ной формы многочлена. Требования к умениям: уметь находить нормальную форму многочлена и лексиграфическую запись многочлена от нескольких переменных.

Тема 14.2. Симметрические многочлены и их приложения. Основные определения. Леммы о симметрических многочленах. Основная теорема о симметрических мно-гочленах. Теорема единственности. Дополнительные замечания к основной теореме. Практические указания. Не-которые приложения симметрических многочленов. Требование к знаниям: знать определение симметрического многочлена, элементарных симметрических мно-гочленов, формулировки и доказательства лемм о симметрических многочленах и основной теоремы, формулировку теоремы единственности. Требование к умениям: уметь приводить примеры симметрических многочленов, выражать данный симмет-рический многочлен через элементарные симметрические многочлены, находить сумму кубов (квадратов, четвертых степеней) корней данного многочлена, находить значение данного симметрического многочлена от корней данного урав-нения, решать системы двух симметрических уравнений с двумя неизвестными, некоторые виды иррациональных урав-нений.

Раздел XV. Группы, кольца, поля. Тема 15.1. Группа. Подгруппа. Бинарная операция на множестве. Нейтральные и симметрические элементы. Определение группы. Примеры групп. Свойства групп. Определение подгруппы. Примеры подгрупп. Понятие о циклических группах. Порядок элемента группы. Свойства порядков элементов группы. Требование к знаниям: знать определения бинарной операции на множестве, группы, подгруппы. Знать фор-мулировки основных свойств группы, порядка элементов группы и доказательства свойств. Требование к умениям: уметь проверять, является ли приведенная операция бинарной, приведенное множест-во с бинарной операцией группой или подгруппой. Уметь приводить примеры групп, подгрупп.

Тема 15.2. Смежные классы. Определение смежных классов. Основные свойства смежных классов. Теорема Лагранжа. Требование к знаниям: знать определение смежных классов, основные их свойства, формулировку и доказа-тельство теоремы Лагранжа. Требование к умениям: уметь строить смежные классы для конкретных задач, доказывать свойства смеж-ных классов.

Тема 15.3. Циклические группы. Определение циклической группы. Примеры циклических групп. Подгруппы циклических групп. Порождающие элементы циклической группы. Требование к знаниям: знать определение циклической группы, подгруппы циклической группы, порождающего элемента. Требование к умениям: уметь приводить примеры циклических групп, подгрупп.

Тема 15.4. Изоморфизмы и гомоморфизмы. Определение изоморфизма и примеры. Основные свойства. Изоморфизм циклических групп. Нормальная под-группа. Фактор-группа. Определние гомоморфизма и примеры. Основные свойства гомоморфизмов. Ядро гомоморфиз-ма. Теорема о гомоморфизмах. Требование к знаниям: знать определение упомянутых понятий, их основные свойства. Требование к умениям: уметь приводить примеры изоморфизмов и гомоморфизмов, доказывать основные свойства этих преобразований.

Тема 15.5. Кольца, подкольца. Идеалы. Определение кольца. Примеры колец. Основные свойства колец. Подкольцо. Примеры подколец. Определение и примеры идеалов. Требование к знаниям: знать определение колца, подкольца, идеала, формулировки и доказательства основных свойств колец. Требование к умениям: уметь привести примеры колец, подколец, идеалов. Уметь устанавливать, является ли заданное множество кольцом, подкольцом.

Тема 15.6. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец. Определение изоморфизмов и гомоморфизма кольца. Теорема о гомоморфизмах. Требование к знаниям: знать определение изоморфизма и гомоморфизма, формулировку теоремы о гомомор-физмах. Требование к умениям: уметь приводить примеры изоморфизмов и гомоморфизмов, уметь доказывать основ-ные теоремы и свойства темы.

Тема 15.7. Делимость в кольце целых чисел. Отношение делимости, его свойства. Деление с остатком. НОД и НОК, их основные свойства. Алгоритм Евк-лида. Простые и составные числа. Разложение составных чисел на простые множители. Бесконечность множества простых чисел. Нахождение НОД и НОК с помощью разложения на простые множители. Решето Эратосфена. Требование к знаниям: знать основные определения, свойства, формулы, знать доказательства основных теорем и свойств. Требование к умениям: уметь находить НОД и НОК чисел различными способами, устанавливать – простое дано число или составное.

Тема. 158. Делимость в области целостности. Определение области целостности. Примеры. Определение делмости в области целостности. Основные свой-ства делимости. Делители единицы. Ассоциированные элементы. Простые и составные элементы области целостно-сти. Делимость идеалов. Кольца главных идеалов. Разложение элементов на простые множители в кольцах главных идеалов. Требование к знаниям: знать определение области целостности, делимости в области целостности, просто-го, составного и ассоциированного элементов, формулировки и доказательства основных свойств делимости в области целостности. Знать определение главного идеала, идеала кольца К, делимости идеалов, основные теоремы о делимости в кольце главных идеалов. Требование к умениям: уметь приводить примеры областей целостности, главных идеалов и примеры, харак-теризующие другие понятия темы.

Тема 15.9. Евклидовы и факториальные кольца. Определение и примеры Евклидовых колец. Определение и примеры факториальных колец. Примеры нефактори-альных колец и неоднозначного разложения на простые множители. Простые элементы в евклидовом кольце. Факториальность кольца многочленов Z [x]. Требование к знаниям: знать определение всех основных понятий темы, формулировки и доказательства ос-новных свойств и теорем. Требование к умениям: уметь приводить примеры евклидовых колец, факториальных колец, неоднозначного разложения на простые множители.

Тема 15.10. Поле. Подполе. Определение поля. Примеры полей. Основные свойства полей. Поле рациональных чисел. Упорядоченные поля. Абсолютное значение элемента упорядоченного поля. Подполе. Примеры подполей. Признак подполя. Требование к знаниям: знать определение поля, подполя, поля рациональных чисел, формулировки и доказа-тельства основных свойств полей. Требование к умениям: уметь приводить примеры полей, подполей, уметь проверять, является ли данное множество полем, подполем.

Тема 15.11. Расширение полей. Расширение полей. Алгебраические и трансцендентные элементы над полем. Минимальный многочлен алгебраи-ческого элемента. Строение простого алгебраического расширения. Степень расширения, теорема о степени повторно-го. Конечные расширения. Требование к знаниям: знать определения основных понятий темы, формулировки и доказательства основных теорем. Требование к умениям: уметь приводить примеры, подтверждающие основные определения понятий и основ-ные свойства.

Тема 15.12. Алгебраические и трансцендентные числа. Конечное расширение поля, его алгебраичность. Алгебраические и трансцендентные числа. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе. Требование к знаниям: знать определение основных понятий темы, формулировки и доказательства основных теорем и свойств. Требование к умениям: уметь приводить примеры, подтверждающие определения и свойства и освобож-даться от алгебраической иррациональности в знаменателе на конкретных примерах.

Тема 15.13. О разрешимости уравнений в радикалах. Проблема разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. О разрешимости уравнений в радикалах. Квадратичные расширения. Проблема разрешимости задач на по-строение циркулем и линейкой. Требование к знаниям: знать четкие формулировки задач и методы их решения. Требование к умениям: уметь объяснить сущность решения задачи в конкретных ситуациях.