6. Экзаменационные вопросы по алгебре.


I семестр.
1. Линейные уравнения и системы линейных уравнений. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема об элементарных преобразованиях. Равносильные системы.
2. Метод последовательного исключения неизвестных решения систем линейных уравнений.
3. Однородная система линейных уравнений. Существование ненулевого решения. Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
4. Арифметический n-мерный вектор. Операции над арифметическими векторами. Пространство арифметических n-мерных векторов, его основные свойства.
5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Основные свойства линейной зависимости. Линейная выражаемость одной системы векторов через другую.
6. Базис системы векторов. Теорема о базисах. Ранг системы векторов. Базис пространства Rn. Эквивалентные системы векторов.
7. Векторное подпространство, его ранг и размерность. Примеры подпространств.
8. Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений (ФНР). Построение ФНР. Теорема о количестве решений фундаментального набора.
9. Матрица и ее элементы. Виды матриц. Элементарные преобразования матрицы. Строчечный и столбцовый ранги матрицы. Леммы о строчечном и столбцовом рангах матрицы.
10. Теорема о совпадении строчечного и столбцового рангов матрицы. Ранг матрицы и его нахождение.
11. Сложение, вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Умножение матриц. Законы умножения. Транспонирование матрицы.
12. Обратная матрица. Необходимые и достаточные условия обратимости матрицы n-го порядка. Единственность обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы. Матричные уравнения и способы их решения.
13. Запись системы линейных уравнений в матричной и векторной формах. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
14. Теорема Кронекера - Капелли. Критерий определенности системы линейных уравнений.

II семестр
1. Подстановки. Четность подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Циклическая подстановка. Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
2. Транспозиция. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Основные свойства понятия четности подстановки. Знак подстановки.
3. Определитель n-го порядка. Определители 2-го и 3-го порядков.
1. Основные свойства определителей.
2. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам какой-либо строки (столбца). Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя квадратной матрицы на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца).
6. Формулы Крамера.
7. Нахождение ранга матрицы и обратной матрицы с помощью определителей.
8. Бинарная операция на множестве. Виды бинарных операций. Мультипликативная и аддитивная форма записи бинарных операций. Алгебры.
9. Группа: определение, примеры и основные свойства.
10. Подгруппы: определение, примеры, признак подгруппы. Полугруппы. Порядок элемента группы. Циклические подгруппы.
11. Кольцо: определение, примеры и основные свойства. Подкольцо: определение. Примеры, признак подкольца.
12. Поле: определение, примеры и основные свойства. Подполе: определение, примеры, признак подкольца.
13. Поле рациональных чисел. Упорядоченные поля. Абсолютное значение элемента и свойства абсолютного значения.
14. Построение системы комплексных чисел. Поле комплексных чисел.
15. Алгебраическая форма комплексного числа. Правила выполнения операций над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексных чисел. Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
16. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа и их основные свойства.
17. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Геометрическое истолкование умножения и деления комплексных чисел.
18. Возведение комплексных чисел в степень. Извлечение корня их комплексного числа. Корни из единицы и их основные свойства.

III семестр
1. Векторное пространство над произвольным полем: определение, примеры, простейшие свойства.
2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Основные свойства линейной зависимости.
3. Подпространство векторного пространства: определение и примеры. Сумма и пересечение подпространств. Векторные многообразия.
4. Базис системы векторов. Теорема о базисах. Конечномерные векторные пространства. Базис конечномерного векторного пространства и его размерность.
5. Координаты вектора в данном базисе. Простейшие свойства координат.
6. Связь между различными базисами векторного пространства. Связь между координатами вектора в различных базисах.
7. Изоморфизм n-мерного векторного пространства над полем Р и пространства Рn. Изоморфизма векторных пространств. Основные свойства изоморфизма. Основная теорема об изоморфизме векторных пространств.
8. Скалярное произведение векторов: определение и задание в конечномерном векторном пространстве. Выражение скалярного произведения в координатах. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши - Буняковского. Ортогональность.
9. Ортогональная система векторов. Существование ортогонального базиса, ортонормированный базис. Ортогональное дополнение к подпространству.
10. Процесс ортогонализации.
11. Евклидово векторное пространство: определения и основные свойства. Изоморфизм евклидовых векторных пространств.
12. Линейные операторы: определение, примеры и основные свойства. Задание линейного оператора образом и базисных векторов. Ядро и образ линейного оператора.
13. Матрица линейного оператора: определение и примеры, задание линейного оператора с помощью матрицы. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
14. Действия над линейными операторами. Невырожденные линейные операторы.
15. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение. Линейные операторы с простым спектром.
16. Построение кольца многочленов. Область целостности многочленов относительно сложения и умножения.
17. Деление многочлена с остатком на двучлен (х - с). Теорема Безу. Схема Горнера. Число корней многочлена. Кратные корни.
18. Деление с остатком.
19. Алгебраическое определение кольца многочленов. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.

IV семестр
1. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида. Линейная форма НОД.
2. Теоремы о взаимно простых многочленах.
3. Неприводимые над данным полем многочлены и их свойства. Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей. Кратные множители.
4. Производная многочлена. Неприводимые кратные множители и корни. Отделение кратных множителей многочлена.
5. Основная теорема алгебры. Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел. Теорема о факторизации в кольце [x]. Количество корней многочлена с комплексными коэффициентами. Формулы Виета.
6. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимость многочленов над полем действительных чисел. Теорема о факторизации в кольце R[x].
7. Решение уравнений третьей степени. Кубические уравнения с действительными коэффициентами.
8. Решение уравнений четвертой степени. О решении уравнений в радикалах
9. Границы корней. Система многочленов Штурма.
10. Теорема Штурма.
11. Леммы Гаусса о примитивных многочленах.
12. Критерий Эйзенштейна.
13. Целые и рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.
14. Построение кольца многочленов от нескольких переменных. Нормальная форма многочлена от нескольких переменных.
15. Лексикографическое упорядочение членов многочлена от нескольких переменных.
16. Основные теоремы о многочленах от нескольких переменных (теорема о высшем члене произведения двух многочленов от нескольких переменных – с доказательством).
17. Определение симметрического многочлена. Примеры симметрических многочленов. Леммы о симметрических многочленах.
18. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема единственности.
19. Основные приложения симметрических многочленов.

V семестр
1. Бинарная операция на множестве. Виды бинарных операций. Нейтральные и симметрические элементы Алгебры.
2. Определение группы. Примеры групп. Простейшие свойства группы.
3. Подгруппы. Примеры подгрупп. Признак подгруппы. Полугруппы.
4. Порядок элемента группы. Свойства порядков элемента.
5. Смежные классы. Основные свойства смежных классов.
6. Теорема Лагранжа и следствия из нее.
7. Циклические группы. Изоморфизм групп.
8. Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
9. Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах.
10. Группы подстановок, подгруппы. Теорема Кэли.
11. Кольцо. Примеры колец. Основные свойства колец. Подкольцо. Признак подкольца. Примеры подколец.
12. Идеалы. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец.
13. Делимость в области целостности. Обратимые элементы области целостности.
14. Фактор-кольцо. Примеры факториальных колец. Примеры нефакториальных колец и неоднозначных разложений на простые множители.
15. Простые и составные элементы области целостности.
16. Алгоритм Евклида в кольце целых чисел Z.
17. Евклидовы кольца. Простые элементы в евклидовом кольце. Основные свойства простых элементов в евклидовом кольце.
18. Теорема о факториальности Евклидова кольца.
19. Факториальность кольца многочленов. Z(x) над факториальным кольцом.
20. Понятие поля. Примеры полей. Характеристика поля. Основные свойства полей.
21. Поле рациональных чисел.
22. Упорядоченные поля.
23. Абсолютное значение элемента и его свойства.
24. Подполе. Примеры подполей. Признак подполя.
25. Алгебраические и трансцендентные числа.
26. Минимальный многочлен алгебраического элемента.
27. Степень расширения.
28. Простое алгебраическое расширение.
29. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
30. Алгебраические числа.