3.  Системы линейных уравнений. 

Определение 5.  Система линейных уравнений записывается в виде

и состоит из  линейных уравнений с  переменными. Коэффициенты уравнений нумеруются двумя индексами: первый индекс обозначает номер уравнения, а второй индекс — номер коэффициента в этом уравнении. Для  и   есть коэффициент -го уравнения при переменной .

Определение 6.  Решением системы линейных уравнений (1) называется такой набор значений переменных, при котором каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Решение системы записывается или в виде системы равенств

или в виде арифметического вектора .

Определение 7.  Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

  В дальнейшем мы покажем, что неопределенная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.

4.  Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Рассмотрим на примере решение системы линейных уравнений методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы.

Пример.  Решим систему линейных уравнений, которая появилась выше:

Решение. С помощью первого уравнения системы исключим переменную  из остальных уравнений. Для этого сначала первое уравнение умножим на -2 и прибавим ко второму уравнению, затем первое уравнение умножим на -3 и прибавим к третьему уравнению и, наконец, первое уравнение умножим на -6 и прибавим к четвертому уравнению. В результате получим систему

Замечаем, что третье уравнение можно упростить, умножив его на .

В третьем уравнении коэффициент при  равен 1 и с помощью него так же, как и выше, можно исключить  из второго и четвертого уравнений. Поэтому мы сначала поменяем местами второе и третье уравнения, а потом приступим к исключению .

Умножив третье уравнение на -1 и прибавив к четвертому, получим нулевое уравнение, которое удаляем из системы, так как оно удовлетворяется любыми значениями переменных. Кроме того, третье уравнение делим на 5 (умножаем на ):

  Полученная система линейных уравнений называется ступенчатой. Дальше продолжим исключение переменных «снизу вверх». Перепишем третье уравнение, а затем с его помощью исключим  из второго и первого уравнений. Для этого сначала третье уравнение умножим на 2 и прибавим ко второму,  а затем третье уравнение прибавим к первому. После этого второе уравнение умножим на  и прибавим к первому. Тем самым исключим  из первого уравнения.

Ответ можно записать либо в виде последней системы равенств, либо в строчку: , , , либо в виде вектора .           *

Перейдем к обоснованию данного решения и рассмотрим общий случай.

5.  Обоснование решения системы линейных уравнений методом Гаусса.  Сначала выделим те преобразования системы линейных уравнений, которые мы использовали в процессе решения примера.

Определение 8. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования.

     1.  Перемена мест двух уравнений системы.

     2.  Умножение уравнения на число, отличное от нуля.

3.  (Главное элементарное преобразование.) Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на число.

4.  Вписывание или удаление нулевого уравнения.

Определение 9.  Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Другими словами, если всякое решение первой системы является решением второй и всякое решение второй системы является решением первой.

Следующая теорема лежит в основе метода Гаусса.

Теорема 1.  При элементарных преобразованиях системы линейных уравнений получаем систему, равносильную первоначальной.

Доказательство.  Пусть дана система линейных уравнений

Рассмотрим лишь преобразование 3 (для остальных преобразований утверждение очевидно). Прибавим ко второму уравнению системы первое уравнение, умноженное на число :

Докажем, что системы линейных уравнений (1) и (2) равносильны.  Пусть арифметический вектор  является решением системы (1). Это значит, что при подстановке в (1) вместо переменных  соответствующих значений получаем систему верных числовых равенств

Прибавим ко второму равенству первое, умноженное на число :

Полученная система равенств (4) означает, что арифметический вектор является решением системы (2).

Для доказательства обратного заметим, что равенства (3) получаются из равенств (4), если ко второму равенству из (4) прибавить первое, умноженное на .                                                                                    *

Определение 10.  Система линейных уравнений называется ступенчатой, если она обладает следующим свойством. Если в некотором ее уравнении первый отличный от нуля коэффициент стоит на  k-ом месте, то во всех нижеследующих уравнениях (если такие существуют) первые k коэффициентов равны нулю.

Примеры. Рассмотрим системы линейных уравнений

Первые две системы являются ступенчатыми, а третья — нет. «Длина» «ступеньки» может быть любой, а «высота» — только в один символ.

Теорема 2.  Всякую систему линейных уравнений с помощью нескольких применений главного элементарного преобразования  можно привести к ступенчатому виду.

Доказательство.  Пусть дана система линейных уравнений

 Предположим сначала, что в первом уравнении системы первый коэффициент . Тогда легко исключить  из остальных уравнений. Умножив первое уравнение на  и прибавив ко второму уравнению, исключим  из второго уравнения. (Объясните как исключить  из i-го уравнения). В итоге получим систему линейных уравнений вида

Теперь можно заняться подсистемой ниже первого уравнения.

Если же , но существует уравнение, в котором коэффициент при  отличен от нуля, то можно это уравнение поставить на первое место, а можно это уравнение прибавить к первому уравнению, выполняя тем самым главное элементарное преобразование. В любом случае придем к рассмотренному случаю.

Если же все коэффициенты при переменной  равны нулю, то перейдем к рассмотрению системы линейных уравнений относительно переменных . Наконец, заметим, что если в системе (1) все коэффициенты при переменных равны нулю, то система (1) в соответствии с определением 10 является ступенчатой.                                                                                        *

6. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Часто при решении системы линейных уравнений преобразования самой системы заменяют преобразованиями соответствующей числовой таблицы, составленной из коэффициентов и свободных членов. Для описания этого способа записи решения дадим необходимые определения.

Определение 11. Матрицей называется всякая прямоугольная таблица чисел или элементов некоторого множества :

.

Размером матрицы  называется . Если для нас важен размер матрицы, то вместо  будем писать . Если , то  (точнее, ) называют квадратной матрицей порядка n.

Определение 12. Две матрицы называют равными, если их размеры совпадают и на одинаковых местах стоят равные элементы.

Всякая строка матрицы  представляет собой, по существу, n-мерный арифметический вектор, формальная разница лишь в отсутствии запятых. Пренебрегая этой разницей, будем говорить о вектор-строках и, аналогично, о вектор-столбцах матрицы. Выделяя вектор-столбцы, будем писать . Иногда бывает удобно отделить один или несколько столбцов вертикальной чертой. Например, присоединив к матрице  новый вектор-столбец, получим матрицу .

Определение 13.  Матрицей системы линейных уравнений

называется матрица A, составленная из коэффициентов при переменных этой системы. Если же к этой матрице приписать столбец свободных членов , то получаем расширенную матрицу системы  B:

,        .

С целью экономии времени и бумаги преобразования системы линейных уравнений заменяют преобразованиями расширенной матрицы системы. Для этого определим преобразования матрицы, соответствующие элементарным преобразованиям системы линейных уравнений.

Определение 14.  Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие:

1.     Перемена мест двух строк матрицы.

2.     Умножение строки матрицы на число, отличное от нуля.

3.  (Главное элементарное преобразование.) Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на число.

4.     Вписывание или удаление нулевой строки.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.

Замечание. Перемену мест строк матрицы можно осуществить с помощью главного элементарного преобразования и умножения строки на -1 (докажите это).

Определение 15.   Матрица называется ступенчатой (или ступенчатого вида), если она обладает следующим свойством. Если в некоторой ее строке первый отличный от нуля элемент стоит на  k-ом месте, то во всех нижеследующих строчках (если такие существуют) первые k мест занимают нули. Первые отличные от нуля элементы строк ступенчатой матрицы будем называть ведущими элементами строк.

Подобно теореме 2 легко доказывается

Теорема 3.  Всякую матрицу с помощью нескольких применений главного элементарного преобразования строк можно привести к ступенчатому виду.

Введем названия для матриц определенных видов.

Определение 16. Рассмотрим матрицы

,   ,   .

Матрица  называется диагональной, а  ¾ треугольной. Если , , ... , , то говорят о диагональной или треугольной матрицах с ненулевыми диагональными элементами. Скалярной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны между собой. Наконец, единичной матрицей называется скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны 1. Единичную матрицу будем обозначать буквой . Ступенчатую матрицу  при условии , , ... ,  будем называть трапецеидальной матрицей и записывать в виде , где вертикальная черта отделяет треугольную матрицу  с ненулевыми диагональными элементами от остальной части . Аналогичный смысл имеет обозначение .

Теорема 4. С помощью элементарных преобразований строк треугольную матрицу с ненулевыми диагональными элементами можно привести к единичной матрице , а трапецеидальную — к матрице вида .

Доказательство.  Сначала каждую строчку треугольной матрицы разделим на диагональный элемент, а затем преобразованиями снизу вверх «обнулим» элементы выше главной диагонали. Для трапецеидальной матрицы — аналогично.   *

7. Примеры решений систем линейных уравнений с помощью

преобразований расширенной матрицы системы. 

Пример 1.  Решим еще раз систему линейных уравнений, рассмотренную в пункте 3:

Решение.  Выписываем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду без нулевых строк:

 ~  ~  ~  ~

~  ~  ~ .

По виду ступенчатой матрицы заключаем, что данная система линейных уравнений совместна и определенна. Для нахождения единственного решения преобразуем ступенчатую матрицу снизу вверх:

 ~  ~ .

Ответ:

Пример 2. Решите систему

Решение.  Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду без нулевых строк:

 ~  ~ .

По виду ступенчатой матрицы определяем, что система несовместна (последней строке полученной матрицы соответствует противоречивое уравнение ).

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решите систему

Решение.  Выпишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду без нулевых строк:

 ~  ~  ~ .

По виду ступенчатой матрицы определяем, что система совместна и неопределенна. Для нахождения общего решения поменяем местами второй и третий столбцы. В этом случае целесообразно над каждым столбцом матрицы поставить соответствующую переменную. Получив трапецеидальную матрицу, преобразуем ее  снизу вверх к виду :

   ~      ~   .

Полученной матрице соответствует система линейных уравнений

 — свободная переменная,  — главные переменные.

Ответ: общее решение , .

8. Решение и исследование системы линейных уравнений методом Гаусса в общем виде.  Пусть требуется решить систему линейных уравнений

Выписываем расширенную матрицу системы , где  ¾ матрица системы, а  ¾ столбец свободных членов. Путем элементарных преобразований строк матрицу  приводим к ступенчатому виду без нулевых строк , где .

1. Предположим в начале, что последняя строка ступенчатой матрицы  нулевая. Поскольку матрица  не содержит нулевых строк, то последняя строка этой матрицы имеет вид , где . Этой строчке соответствует противоречивое уравнение . Следовательно, исходная система линейных уравнений несовместна, решений нет. Заметим, что на практике делаем этот вывод, как только в процессе преобразований расширенной матрицы системы к ступенчатому виду появляется строка, соответствующая противоречивому уравнению.

2. Пусть последняя строка ступенчатой матрицы  ненулевая, т.е. эта матрица не содержит нулевых строк. Рассмотрим два возможных случая.

2.1. . В этом случае ступенчатая матрица  ¾ треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. Тогда матрицу  путем элементарных преобразований строк снизу вверх приводим к виду , где  ¾ единичная матрица:

.

Единственным решением данной системы линейных уравнений будет , , … , . Таким образом, в этом случае система линейных уравнений совместна и определенна.

2.2. . Тогда с помощью перемены мест столбцов, если потребуется, ступенчатую матрицу  приводим к трапецеидальному виду , где ,  ¾ треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами,  ¾ некоторая прямоугольная матрица. При перемене мест столбцов над каждым столбцом записываем соответствующую переменную. В результате получаем матрицу .  С помощью элементарных преобразований снизу вверх эту матрицу приводим к виду  :                         

Полученной матрице соответствует система линейных уравнений

Последняя система равенств называется общим решением данной системы линейных уравнений. Здесь . Переменные , … ,  называются главными, а остальные переменные ¾ свободными. Придавая свободным переменным произвольные значения и вычисляя значения главных переменных, мы получаем частные решения. Таким образом, в этом случае данная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, то есть является совместной и неопределенной.

Сформулируем полученные результаты на языке матриц.

Теорема 5. Система линейных уравнений с матрицей системы  и столбцом свободных членов  несовместна  матрицу  с помощью элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатой матрице, у которой последняя строка имеет вид , где .

 Теорема 6. Система линейных уравнений с матрицей системы  и столбцом свободных членов  имеет единственное решение   матрицу  с помощью элементарных преобразований строк можно привести к виду , где  ¾ единичная матрица а  ¾ n-мерный вектор-столбец.

Теорема 7.  Система линейных уравнений с матрицей системы  и столбцом свободных членов  имеет бесконечное множество решений  матрицу  с помощью элементарных преобразований строк и возможно перемены мест столбцов можно привести к виду , где  ¾ единичная матрица,  и  ¾ r-мерный вектор-столбец.

9.  Однородная система линейных уравнений. 

Определение 17.  Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Всякая однородная система линейных уравнений совместна, так как имеет по крайней мере нулевое решение.

 Теорема 8.  Если в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа переменных, то она имеет ненулевое решение.

Доказательство.  Поскольку данная система линейных уравнений вытянута по горизонтали, то при ее решении методом Гаусса получим ступенчатую  систему, также вытянутую по горизонтали. Следовательно, появятся свободные переменные, а значит, система имеет бесконечное множество решений и среди них ненулевые.   *

В следующей теореме решения системы линейных уравнений рассматриваются в виде арифметических векторов.

Теорема 9.  Сумма решений однородной системы линейных уравнений, а также результат умножения решения на число сами являются решениями этой системы.

Доказательство. Пусть дана однородная система линейных уравнений

пусть  и ¾ ее решения, ¾ некоторое число. Рассмотрим i-е уравнение системы, . По условию, имеем верные числовые равенства  и . Сложив эти равенства, получим . Это  означает, что сумма двух решений является решением данной системы. Аналогично доказывается, что вектор   является решением данной системы.   *

Следствие. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений с n переменными образует подпространство арифметического n-мерного векторного пространства .

Определение 18.  Пусть дана система линейных уравнений

          (1)

Если в системе (1) каждый свободный член заменить нулем, то получим однородную систему линейных уравнений

          (2)

которая называется ассоциированной с данной системой (1).

Теорема 10.  Пусть дана система линейных уравнений (1). Образуем ассоциированную однородную систему (2). Если к каждому решению ассоциированной однородной системы (2) прибавить одно и то же решение данной системы линейных уравнений (1), то получим все решения данной системы линейных уравнений (1).

Доказательство. Пусть  ¾ множество всех решений данной системы линейных уравнений (1), ¾ фиксированное решение из  и  ¾ множество всех решений ассоциированной однородной системы (2). Обозначим  и докажем, что . Пусть  ¾ произвольное решение из . Тогда для любого номера  имеем верные равенства  и . Сложив их, получим  . Следовательно,   ¾ решение системы (1), а значит . Этим доказано включение .

Для доказательства обратного включения  рассмотрим произвольное решение  из . Очевидно, . Обозначим . Если мы докажем, что , то получим . Поскольку векторы  и  являются решениями системы (1), то для любого  имеем , . Вычитая из первого равенства второе, получаем   . Отсюда следует, что вектор  является решением ассоциированной однородной системы линейных уравнений. Следовательно, , откуда . Тем самым доказано, что  . Таким образом, .                                 *

У п р а ж н е н и я

1. Придумайте и решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

2. Придумайте систему линейных уравнений заданного вида (совместную, несовместную, определенную и неопределенную).

3. Придумайте систему линейных уравнений с параметром каждого из следующих видов: 1) параметром является один из свободных членов;  2) параметром является один из коэффициентов;  3) система квадратная и каждый диагональный коэффициент является параметром . Исследуйте и решите ее.

4. Придумайте несколько арифметических векторов и найдите все арифметические векторы, ортогональные данным.

5. Придумайте однородную систему линейных уравнений, которая имела бы ненулевое решение. Найдите общее решение и одно из ненулевых решений.

6. Можно ли несовместную систему линейных уравнений с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду?

7. Пусть система линейных уравнений совместна. Будет ли совместной ее подсистема?

8. Однородная система линейных уравнений неопределенна. Какой будет однородная система, которая получается из данной путем удаления из каждого уравнения последней переменной вместе с коэффициентом?

9. Однородная система линейных уравнений неопределенна. Какой будет ее подсистема?

10. Какой вид имеет система линейных уравнений, если ассоциированная однородная система линейных уравнений определенна?

См.  [14], №№  5.5.1-5.5.4;    [20], №№ 567-581, 594-597, 689-704, 706-711, 712-719;  [25], №№ 396-435.