_{2.  Базис множества векторов.} 

Определение 3.  Базисом непустого множества векторов  называется такая система векторов  из , которая сама линейно независима, и всякий вектор из  линейно выражается через векторы из .

Пример. Докажем, что одним из базисов арифметического n-мерного векторного пространства  является система так называемых единич­ных  векторов  , , ... , .

Доказательство.   1) Докажем, что система единичных векторов линейно независима. Для этого составим линейную комбинацию этих векто­ров с неопределенными коэффициентами, приравняем ее к нулевому вектору и докажем, что все коэффициенты равны нулю:

   = === =  _{, , ... , .}

_{Линейная независимость системы единичных векторов доказана.}

_{2) Для любого}  имеем: , так что всякий вектор  линейно вы­ражается через систему единичных векторов.  *

Задача 1. Докажите, что система векторов ₌, ₌, ... , ₌ также является базисом векторного пространства .  

Задача 2. Докажите, что система векторов , ,   линейно независима и найдите, как через нее линейно выражаются векторы , .

Решение. Нам предстоит доказать, что векторное уравнение  имеет только нулевое решение и решить векторные уравнения , .  Имеем:

Аналогично векторные уравнения  и  приводят к системам линейных уравнений

Замечаем, что у каждой из полученных систем линейных уравнений матрица системы одна и та же, что позволяет решать их одновременно.

Это означает, что система векторов  линейно независима и

,              .                                                                *

Рассмотрим в общем виде переход от системы линейных уравнений к векторному уравнению. Пусть дана система линейных уравнений

Эти равенства можно записать в векторной форме:

,  

.

В последнем векторном уравнении  ¾ столбцы матрицы данной системы линейных уравнений, а  ¾ столбец свободных членов. Матрицу и расширенную матрицу данной системы линейных уравнений можно записать в виде соответственно  и .

Следующая теорема является обобщением задачи 2.

Теорема 3.  Пусть даны матрицы  и  и их вектор-столбцы соответственно  и . Если с помощью элементарных преобразований строк матрицу  можно преобразовать к виду , то система векторов  является базисом системы векторов , а вектор-столбцы  матрицы

являются коэффициентами разложений векторов  по данному базису, т.е.

 Доказательство. Чтобы установить линейную независимость системы векторов , нужно доказать, что векторное уравнение  имеет только нулевое решение. Кроме того, нам нужно решить векторные уравнения

Это приводит к решению систем линейных уравнений с расширенными матрицами , , … , . Поскольку матрицы систем линейных уравнений одинаковые, то эти системы можно решать одновременно. Это приводит к преобразованиям матрицы = =. По условию, с помощью элементарных преобразований строк  данную матрицу можно преобразовать к виду = =. Это означает, что векторное уравнение   имеет только нулевое решение и для любого  вектор-столбец  является решением векторного уравнения , что и требовалось доказать.                         *    

Доказанная теорема позволяет обосновать следующий способ нахождения базиса данной системы векторов.

Теорема 4.  Пусть дана система ненулевых векторов .

1) Чтобы найти базис данной системы векторов, нужно составить матрицу M, записывая эти векторы в столбцы, и путем элементарных преобразований строк матрицу M  привести к ступенчатому виду  без нулевых строк. Тогда базисом данной системы векторов являются столбцы  матрицы M, которые преобразуются в столбцы ступенчатой матрицы , содержащие ведущие элементы строк (первые отличные от нуля элементы строк).

2) Чтобы остальные векторы данной системы векторов, не входящие в базис, выразить через векторы найденного базиса, нужно сначала переставить местами столбцы ступенчатой матрицы  так, чтобы получилась трапецеидальная матрица , а затем, трапецеидальную матрицу с помощью дальнейших элементарных преобразований строк снизу вверх привести к виду . Тогда столбцы матрицы  являются коэффициентами разложений векторов  по найденному базису.

Доказательство.  Рассмотрим цепочку описанных в теореме преобразований матрицы :

.

Поменяем местами столбцы матрицы  так, как мы поменяли местами столбцы ступенчатой матрицы  при переходе к трапецеидальной матрице . В результате получим матрицу .  Применим к этой матрице те  же  преобразования, что и к матрице . Получим цепочку преобразований

.

Из теоремы 4 следует, что система векторов  является базисом системы векторов , а значит и базисом данной системы векторов . Причем столбцы матрицы  дают коэффициенты разложений векторов  по базису .         *

Следствие. Пусть с помощью элементарных преобразований строк матрица  приведена к ступенчатой матрице  без нулевых строк. Тогда число векторов базиса системы вектор-столбцов матрицы  равно числу строк ступенчатой матрицы .

_{Задача о базисе конечной системы векторов.   Дана система векторов  ,  ,  , , Требуется найти ее базис и остальные век­торы выразить через векторы найденного ба­зиса.}

Решение. Составляем матрицу , записывая векторы в столбцы, и преобразуем ее к ступенчатому виду.

  ~~

Удалим нулевую строку и получим ступенчатую матрицу  без нулевых строк. Переставим столбцы матрицы  так, чтобы она превратилась в трапецеидальную матрицу , ( ¾ треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами). Путем элементарных преобразований строк снизу вверх преобразуем матрицу  так, чтобы на месте матрицы   оказалась единичная матрица. В итоге получим матрицу вида :

^~ 

 ^~  

Доказанная выше теорема 5 позволяет утверждать, что векторы  образуют базис данной системы векторов и столбцы матрицы  дают коэффициенты разложений остальных векторов по этому базису, т.е. , , .

3. Эквивалентные системы векторов и элементарные преобразования конечной системы векторов. Ранг системы векторов.

Определение 4. Система векторов  линейно выражается через систему векторов , если каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы.

Определение 5. Две конечные системы векторов называются эквивалентными, если первая система векторов линейно выражается через вторую, а вторая ¾ через первую.

Легко видеть, что всякая конечная система векторов эквивалентна себе самой (свойство рефлексивности),  если первая система векторов эквивалентна второй, то вторая эквивалентна первой (свойство симметричности) и  если первая система векторов эквивалентна второй, а вторая ¾ третьей, то первая эквивалентна третьей (свойство транзитивности).

Задача. Докажите эквивалентность систем векторов  и , если известно, что , , .

По образцу элементарных преобразований строк матрицы определим элементарные преобразования конечных систем векторов.

Определение 6. Элементарными преобразованиями конечной системы векторов называются следующие преобразования.

1. Перемена мест векторов системы.

2. Умножение вектора на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к одному вектору другого вектора, умноженного на число.

4. Вписывание или удаление нулевого вектора.

 Теорема 5.  При элементарных преобразованиях конечной системы векторов получаем систему, эквивалентную первоначальной.

Доказательство. Рассмотрим лишь преобразование 3, оставляя остальное читателю. Пусть дана система векторов . Прибавив к первому вектору второй, умноженный на число , получим систему . Первая система векторов линейно выражается через вторую, так как , , ... , . Вторая система векторов линейно выражается через первую, так как , , ... , .    *

Докажем теорему, которая позволит нам ввести одно важное понятие.

Теорема 6. Базисы эквивалентных конечных систем векторов содержат одинаковое количество векторов.

Доказательство. Пусть конечные системы векторов  и   эквивалентны и система  имеет базис , содержащий  k векторов, а система  имеет базис , содержащий m векторов. Тогда система векторов  линейно выражается через систему векторов  (по условию), а  линейно выражается через свой базис . Итак, система векторов  линейно независима (так как  — базис) и линейно выражается через систему векторов . По следствию  из основной теоремы о линейной зависимости, . Аналогично доказываем, что . Следовательно, .                                                                                  *

Следствие 1.  Любые два конечных базиса данного множества векторов содержат одинаковое количество векторов.

Это следствие позволяет ввести следующее понятие.

Определение 7.  Рангом конечной системы векторов, содержащей ненулевой вектор, называется количество векторов ее базиса. Если конечная система состоит только из нулевых векторов, то она не имеет базиса, поэтому считаем ее ранг равным нулю.

Следствие 2. Эквивалентные системы векторов имеют равные ранги.

Для всякой матрицы можно рассматривать систему ее вектор-строк и систему вектор-столбцов и для каждой из этих систем векторов находить свой базис. Оказывается, что оба базиса состоят из одного и того же количества векторов. Докажем это. Начнем с определений.

4. Ранг матрицы.

Определение 8.  Строчечным (столбцовым) рангом матрицы называется ранг системы ее вектор-строк (соответственно, вектор-столбцов).

Теорема 7.  Строчечный ранг матрицы равен столбцовому.

Доказательство. Если данная матрица нулевая, то строчечный и столбцовый ранги равны нулю и, следовательно, совпадают. Пусть дана ненулевая матрица . С помощью элементарных преобразований строк приводим ее к ступенчатому виду  без нулевых строк. Поскольку при элементарных преобразованиях строк матрицы ее строчечный ранг не изменяется, то строчечный ранг матрицы  равен строчечному рангу ступенчатой матрицы . Но выше было доказано, что ненулевые строчки ступенчатой матрицы линейно независимы. Следовательно, строчечный ранг матрицы  равен числу строк ступенчатой матрицы . По следствию из теоремы 5, число векторов базиса системы вектор-столбцов матрицы  также равно числу строк ступенчатой матрицы . Таким образом, строчечный и столбцовый ранги данной матрицы   совпадают.  *

Доказанная теорема позволяет ввести следующее понятие.

Определение 9. Рангом матрицы называется ее строчечный или столбцовый ранг.

Для нахождения ранга матрицы достаточно найти ее строчечный ранг, а для этого с помощью элементарных преобразований строк привести ее к ступенчатому виду без нулевых строк. Тогда количество строк полученной ступенчатой матрицы равно рангу данной матрицы.

Задача. Найдите ранги следующих матриц: 1) нулевой;  2) единичной матрицы порядка n;  3) матрицы вида , где  ¾ единичная матрица порядка n;  4) , где  ¾ треугольная матрица порядка n с ненулевыми диагональными элементами;  5) квадратной матрицы порядка n, у которой в каждой строке и в каждом столбце точно один элемент отличен от нуля.

Перечитывая с понятием ранга теоремы 5, 6, 7, §3, получаем следующие теоремы соответственно 8, 9, и 10.

Теорема 8. Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы этой системы. 

Доказательство. По теореме 5, §3, система линейных уравнений с расширенной матрицей  несовместна  путем элементарных преобразований строк матрицу  можно привести к ступенчатой матрице  без нулевых строк, где последняя строка имеет вид   и . Последнее эквивалентно тому, что ранг матрицы  меньше ранга матрицы . Но ранг матрицы  равен рангу матрицы , а ранг матрицы  равен рангу расширенной матрицы .   *

Из доказанной теоремы 8 непосредственно вытекает

Следствие (теорема Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Теорема 9. Система линейных уравнений совместна и определенна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы и равен числу переменных.

Доказательство. По теореме 6, §3, система линейных уравнений с матрицей системы  и столбцом свободных членов  имеет единственное решение   матрицу  с помощью элементарных преобразований строк можно привести к виду , где  ¾ единичная матрица а  ¾ n-мерный вектор-столбец.  Поскольку при элементарных преобразованиях строк матрицы ее ранг не изменяется, то ранг матрицы   равен рангу единичной матрицы  и, следовательно, равен , а ранг матрицы  равен рангу матрицы , а значит, также равен . Таким образом, данная система линейных уравнений имеет единственное решение   ранг матрицы  равен рангу матрицы  и равен  ¾ числу переменных системы.

Аналогично доказывается

Теорема 10.  Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений  ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы и меньше числа переменных.

5.  Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.  Решая однородную систему линейных уравнений

_{получаем общее решение}

(Проверьте!) Придадим свободным переменным , последовательно значения (1,0), (0,1) и найдем частные решения  и . Легко видеть, что эти решения образуют линейно независимую систему. Придадим другие значения свободным переменным и найдем другое частное решение, например, . Докажем, что  линейно выражается через систему .  Найдем числа  и  такие, что . Тогда ==.  Отсюда ,  и , . Следовательно, .  Для произвольного решения =, проведя аналогичные рассуждения, будем иметь . Таким образом, система  является базисом подпространства решений и множество всех решений системы можно записать в виде ,  .

Рассмотрим эти вопросы в общем виде.

Определение 10. Фундаментальным набором решений однородной системы линейных уравнений называется всякий базис подпространства решений этой системы.

Теорема 11.  Пусть дана однородная система линейных уравнений с  переменными и ранг матрицы системы равен . Тогда фундаментальный набор решений этой системы содержит  решений.   

Доказательство.  Рассмотрим сначала крайние случаи. Если , то однородная система состоит из нулевых уравнений. Тогда всякий арифметический n-мерный вектор является ее решением, а так как всякий базис арифметического n-мерного векторного пространства содержит n векторов, то фундаментальный набор решений содержит  решений.

Если , то однородная система линейных уравнений имеет единственное ¾ нулевое решение и, следовательно, пространство решений не имеет базиса. Но тогда его ранг равен 0 и мы получаем: .

Предположим теперь, что . Решая систему линейных уравнений методом Гаусса, выписываем матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду без нулевых строк. Поскольку ранг матрицы системы равен r, то ступенчатая матрица будет содержать r строк, а общее решение системы будет иметь вид 

Придавая свободным переменным , ... , последовательно значения  , ... , , получим систему частных решений , ... , =. Легко видеть, что эта система решений линейно независима. Пусть   ¾ произвольное решение данной системы линейных уравнений. Тогда, подставляя в общее решение, находим

Теперь легко проверить, что . Следовательно,  является базисом множества всех решений данной системы линейных уравнений, то есть ее фундаментальным набором решений. Следовательно, всякий фундаментальный набор решений содержит  векторов.    *

6. Следствия систем линейных уравнений. Рассмотрим систему линейных уравнений

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3 и почленно сложим полученное. Это даст линейное уравнение . Оно называется линейной комбинацией уравнений данной системы. Очевидно, всякое решение данной системы является решением полученного уравнения. В этом случае говорят, что полученное уравнение является следствием данной системы. Вообще, линейное уравнение от трех переменных называется следствием данной системы линейных уравнений, если всякое решение системы является решением данного уравнения. Замечательно то, что всякое следствие данной системы является некоторой линейной комбинацией уравнений этой системы. Докажем это в общем виде. При этом всякое линейное уравнение  будем записывать, используя стандартное скалярное произведение векторов, в виде , а систему линейных уравнений ¾ в виде  . Дадим общие определения.

Определение 11. Линейное уравнение с n переменными

, кратко:       (1)

называется следствием системы линейных уравнений с n переменными

, кратко: ,      (2)

если всякое решение системы (2) является решением уравнения (1).

Определение 12. Линейное уравнение с n переменными (1) называется линейной комбинацией системы линейных уравнений с n переменными (2), если существуют действительные числа , ... ,  такие, что ,  .

Лемма 1. Если линейное уравнение (1) является следствием совместной системы линейных уравнений  (2), то однородное линейное уравнение

       (3)

является следствием однородной системы линейных уравнений

.        (4)

Доказательство. Пусть векторы  и  являются произвольными решениями систем линейных уравнений, соответственно, (2) и (4). Тогда  и  ¾ решения системы (2), а значит, и ее следствия (1), т.е.  и . Итак, , откуда , т.е. вектор  является решением уравнения (3). Тем самым доказано, что (3) является следствием системы (4)                           *

Лемма 2. Если однородное уравнение (3) является следствием однородной системы линейных уравнений (4), то вектор  является линейной комбинацией векторов .

Доказательство. Обозначим  = . Предположим противное, пусть вектор  не является никакой линейной комбинацией векторов . Тогда =.

Рассмотрим систему линейных уравнений, присоединив к системе (4) измененное уравнение (3):

Строчечный ранг матрицы этой системы равен . Рассмотрим расширенную матрицу этой системы. Поскольку ранг системы ее первых  вектор-строк равен , а последняя строка не является линейной комбинацией предыдущих строк, то ранг расширенной матрицы также равен . Следовательно, рассматриваемая система линейных уравнений имеет решение, которое обозначим через . Но тогда оно является решением однородной системы линейных уравнений (4), а значит и следствия этой системы . Но этого не может быть, поскольку . Полученное противоречие убеждает нас, что вектор  является линейной комбинацией векторов             *

Теорема 12.  Линейное уравнение  (1) является следствием совместной системы линейных уравнений (2)  уравнение (1)  является линейной комбинацией уравнений системы  (2).

    Доказательство. (). В силу лемм 1 и 2 существуют действительные числа , ... ,  такие, что . По условию, система (2) совместна. Пусть вектор  является ее решением, т.е. . Поскольку уравнение  (1) является следствием системы (2), то . Отсюда получаем:   . Следовательно, уравнение (1) является следствием системы (2).

() Докажите, что если уравнение (1) является линейной комбинацией уравнений системы  (2), то (1) является следствием данной системы (2).  *

У п р а ж н е н и я

1.  Даны векторы , , , , . Установите, является ли данная система векторов линейно зависимой, и если да, то найдите эту зависимость.

2.  Найдите два базиса системы векторов , данных в предыдущей задаче.

3. Найдите ранг матрицы, строчками которой являются следующие линейные комбинации векторов первой задачи: , , ,  ,  . 

4. Придумайте матрицу заданного ранга и проверьте вычислением ранга.

5. Придумайте однородную систему линейных уравнений, имеющую ненулевое решение, и найдите ее фундаментальный набор решений.

6. Докажите, что система векторов , , ,  линейно независима и выразите через нее векторы , , .  Придумайте и решите подобную задачу.

7. Дана система векторов , , , , ,  Найдите ее базис и остальные век­торы выразите через векторы найденного ба­зиса. Найдите другой базис и векторы, не входящие в этот базис, выразите через векторы нового базиса.

8. Придумайте систему линейных уравнений и найдите некоторое ее следствие. Выполните проверку, пользуясь определением следствия.

9. Будет ли линейно зависимой система векторов, если она содержит два одинаковых вектора?

См.   [14], №№  4.1.7, 4.1.20;      4.2.1-4.2.3, 4.2.8, 4.2.9;     5.1.9;  5.3.21;

[20], №№  639-645, 665-669;    4.2.1-4.2.3, 4.2.8, 4.2.9;    673-676, 679-681;  619-622, 612, 613;    724-732;    

[25], №№  361-380.