2. Умножение матриц.  К правилу умножения матриц можно придти, записывая векторное уравнение  в виде матричного равенства

.

В правой части равенства стоит одноэлементная матрица. Исходное векторное равенство мы получим, если найдем сумму произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы. Обобщим эту ситуацию и введем общее определение умножения матриц.

Определение 3.  Пусть даны матрицы  и , причем длина строки первой матрицы равна длине столбца второй матрицы, т.е. количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица :

,

где для любых ,  элемент  равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы  на соответствующие элементы  j-го столбца матрицы , т.е.

.

Это правило умножения матриц называется "строка на столбец".

Система линейных уравнений  в матричной форме принимает вид:

.

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

Теорема 1. Умножение матриц ассоциативно. Точнее, если для матриц ,  и одно из  произведений ,   существует, то и другое произведение существует, причем  .

Доказательство. Если одно из произведений ,  существует, то размеры матриц ,  и равны соответственно ,  и  при некоторых натуральных  k, l, m, n . Но тогда и второе произведение  существует. Пусть

,     ,     .

Докажем, что . Введем обозначения: , , , . Тогда  ¾ матрица размера ,  ¾ размера ,  ¾ размера , и  ¾ размера . Следовательно, размеры матриц  и  совпадают и остается доказать, что соответствующие элементы  и  этих матриц равны для всех , . Элементы матриц и   будем обозначать малыми буквами u и v с соответствующими индексами. Имеем:

                                                     ;

.

Группируя слагаемые последней суммы по столбцам, убеждаемся, что она совпадает с суммой, определяющей . Следовательно,  и .  *

Теорема 2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения. Точнее, если для матриц ,  и  одно из  выражений  , , (, ) существует, то и другое существуют, причем   (соответственно ).

Доказательство. Если одно из выражений ,  существует, то размеры матриц ,  и  равны соответственно ,  и  при некоторых натуральных ,  и . Но тогда существует и второе выражение. Пусть  

,     ,     .

Докажем равенство .  Введем обозначения:

.

Элементы матриц , , ,  будем обозначать теми же буквами, что и сами матрицы, только малыми с соответствующими индексами. Вычислим элемент , где , .

.                       *

Обратим внимание на то, что умножение матриц не коммутативно. Приведите собственный пример матриц  и  таких, что .

3.  Обратная матрица.  При умножении квадратных матриц порядка n роль единицы играет единичная матрица того же порядка

.

Для любой квадратной матрицы A порядка n имеем .

Вспомним, что для всякого числа  существует обратное число , причем . Введем для матриц аналог обратного числа.

Определение 4.  Пусть дана квадратная матрица A порядка n. Матрица B порядка n называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E, где E ¾ единичная матрица того же порядка. При этом пишут:  и матрицу A называют обратимой.

Оказывается, далеко не всякая квадратная матрица обратима. Нашей ближайшей задачей является нахождение необходимого и достаточного условия обратимости квадратной матрицы.

Пример.  Найдите обратную матрицу для матрицы

.

Решение. Обратную матрицу будем искать в виде

.

По определению обратной матрицы , то есть

=.

Отсюда

Замечаем, что матрица каждой из систем линейных уравнений есть данная матрица . Это позволяет решать обе системы линейных уравнений одновременно, выписывая столбцы свободных членов один за другим:

~  ~ .

Таким образом, ,  ,  ,   и B=. Заметим, что успех обеспечило то обстоятельство, что ранг матрицы равен 2.

Проверкой легко установить, что . Следовательно, .

Теперь проведем эти же рассуждения в общем виде и докажем общую теорему.

Теорема 3.  Если ранг квадратной матрицы A порядка n равен n, то матрица A обратима.

Доказательство.  Пусть

и ранг матрицы  равен . Найдем матрицу , которая "уничтожает" матрицу  справа, т.е. .  Матрицу  будем искать в виде

.

Рассмотрим матричное равенство

=.

Вычисляя произведение матриц, сначала каждую строчку первой матрицы умножим на первый столбец второй матрицы, затем каж­дую строчку первой матрицы умножим на второй столбец второй матрицы и так далее. Приравнивая соответствующие элементы равных матриц, получим n систем линейных уравнений:

…

Замечаем, что матрица каждой подсистемы одна и та же и равна данной матрице A. Поэтому будем решать все эти подсистемы одновременно. Поскольку ранг матрицы A равен n, то каждая подсис­тема имеет единственное решение, которое находим методом Га­усса:

 .

Таким образом, , для   и

B=.

Замечаем, что матрица  получена из единичной матрицы путем элементарных преобразований строк. Отсюда делаем вывод, что ранг матрицы  равен . По доказанному, для матрицы  существует матрица  такая, что . С другой стороны,  пользуясь ассоциативностью умножения матриц, получаем . Следовательно, . Итак, , т.е.  является обратной матрицей для матрицы .                                                                                                             *

Теорема 4.  Если квадратная матрица A порядка n обратима, то ее ранг равен n.

Доказательство.  Пусть дана матрица A и обратная ей матрица B:

,        = B =.

Докажем, что ранг матрицы A равен n. Обозначим столбцы данной матрицы A через  и докажем, что они образуют ли­нейно независимую систему. С одной стороны, очевидно, эта система векторов линейно выражается через систему единичных векторов  , ,  ...  , .

С другой стороны, по условию имеем   

 =

…

Последняя система равенств говорит о том, что система единичных векторов  линейно выражается через систему век­тор-столбцов . Следовательно, эти системы векторов эквивалентны. Но эквивалентные системы векторов имеют равные ранги (см. §4, п.4, следствие 2 из теоремы 6), а ранг системы единичных векторов равен n. Значит, ранг данной матрицы A равен n.     *

Следствие.  Квадратная матрица A порядка n обратима  ранг матрицы A равен n.

Из доказательства теоремы 3 подмечаем:

Способ нахождения обратной матрицы. Чтобы для дан­ной матрицы A найти обратную матрицу, нужно приписать к ней справа единичную матрицу E и полученную матрицу  путем элемен­тарных преобразований строк привести к ступенчатому виду. Если в процессе этих преобразований слева от вертикальной черты появится нулевая строка, то ранг матрицы A меньше n и обратной матрицы не существует. Если же нулевой строчки не возникнет, то дальнейшими элементарными преобразованиями строк на месте, где стояла матрица A, полу­чаем единичную матрицу. В результате преобразуемая матрица принимает вид . При этом матрица   и является обратной для данной мат­рицы  A.

Пример.  Найдите обратную матрицу для матрицы

.

Решение. 

 ~  ~  ~

~  ~  ~

  ~ .         Ответ:      .

Зная обратную матрицу , мы можем решить матричные уравнения  и . Легко проверить, что решением первого уравнения будет произведение , а решением второго .

Пример 2.  Решите матричные уравнения , , где

,     .

Решение.  Воспользуемся примером 1, где найдена матрица .

;

.

 Ответ:   ,   .

Заметим, что решения уравнений  и  различны.

Вопрос. В каком случае решения матричных уравнений  и  будут совпадать?

4. Матричные уравнения, системы линейных уравнений и векторные уравнения. Следующая теорема играет роль словаря, позволяющего в зависимости от ситуации говорить или на языке матриц, или на языке систем линейных уравнений, или на языке векторов.

Теорема 5.  Следующие утверждения эквивалентны.

1) Имеет решение матричное уравнение

.

2) Совместна каждая из систем линейных уравнений

, … ,

3) Имеет решение каждое векторное уравнение

где  ¾  столбцы матрицы , а  ¾  столбцы матрицы .

4) Система векторов  линейно выражается через систему векторов .

5) Ранг матрицы  равен рангу матрицы .

Доказательство. Эквивалентность утверждений 1) – 4) вытекает из того, что это различные формы записи одного и того же. Докажем эквивалентность 4) и 5). В случае, когда каждый вектор системы  нулевой, это очевидно. Пусть эта система содержит ненулевые векторы. Тогда она имеет некоторый базис , . Легко видеть, что система векторов  линейно выражается через систему векторов  тогда и только тогда, когда система векторов  является базисом системы векторов , а это эквивалентно совпадению рангов матриц  и .       *

Пример 1. Решите матричное уравнение

.

Решение. Вычислим произведение матриц и приравняем соответствующие элементы. Перемножая матрицы, мы сначала каждую строку первой матрицы умножим на первый столбец второй матрицы, а затем каждую строку первой матрицы ¾ на второй столбец второй матрицы. В результате получим две системы линейных уравнений:

Поскольку матрица каждой системы одна и та же, то их можно решать одновременно. Выписываем матрицу системы и к ней приписываем столбцы свободных членов:

 ~  ~  .

Возвращаясь к системам линейных уравнений, получаем

Ответ: ,     .

Пример 2. Даны векторы , ,  и , . Принадлежат ли векторы  и  подпространству, порожденному векторами ?

Решение. Для ответа на вопрос нужно выяснить линейно выражается ли система векторов  через систему векторов . Составим матрицы, столбцами которых являются данные векторы:

По теореме 5, для ответа на последний вопрос достаточно сравнить ранги матриц  и . Из решения предыдущей задачи можно извлечь, что ранги этих матриц совпадают, а значит ответ положительный.

5. Транспонированная матрица.  Пусть дана квадратная матрица . Запишем строчки матрицы в столбцы, не меняя порядка их следования. Полученная таким образом матрица называется транспонированной по отношению к первой. Закрепим этот термин в определении.

Определение 5.  Транспонированием матрицы  называется такое ее преобразование, при котором каждая строка становится столбцом того же номера. Преобразованная таким образом матрица обозначается  и называется транспонированной матрицей.

Теорема 6. Если произведение матриц  существует, то  произведение  существует и .

Доказательство. Если произведение матриц   существует, то длина строки матрицы  равна длине столбца матрицы . Отсюда следует, что длина строки матрицы  равна длине столбца матрицы . Следовательно, произведение  также существует.

В произведении  элемент, стоящий на месте , равен скалярному произведению -й строка матрицы  на -й столбец матрицы : =. В матрице  этот элемент стоит на месте . С другой стороны, на этом же месте в матрице  стоит  ¾ произведение -й строки матрицы , т.е. -го столбца матрицы   ¾ вектора , на  -й столбец матрицы , т.е -ю строку матрицы  ¾ вектор . Таким образом, в матрицах  и  на одинаковых местах стоят равные элементы.                                   *

Приведем еще одно доказательство того, что квадратная матрица порядка  обратима тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Пусть  ¾ квадратная матрица порядка . Очевидно, ранг матрицы  равен . Поэтому ранг матрицы  равен  тогда и только тогда, когда ранг матрицы  равен рангу матрицы . По теореме 5, последнее эквивалентно разрешимости матричного уравнения . Остается доказать, что матрица  обратима тогда и только тогда, когда это уравнение разрешимо. Понятно, что если матрица  обратима, то обратная матрица  является решением уравнения . Обратно, пусть это уравнение разрешимо (а значит ранг матрицы  равен ) и матрица  является его решением, т.е. . Докажем, что  и, следовательно, матрица  является обратной для матрицы . Очевидно, ранг транспонированной матрицы  равен рангу матрицы , а значит равен .  Но тогда уравнение  разрешимо. Пусть матрица  является его решением. Тогда , откуда ,  и . Но тогда . Следовательно,  и  является обратной для матрицы .

6. Трансвекции и элементарные преобразования матриц.  Вспомним, что всякую матрицу можно привести к ступенчатому виду, выполняя преобразования лишь одного вида: прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число. Оказывается это преобразование можно заменить умножением данной матрицы на матрицу особого вида.

Определение 6.  Трансвекцией называется квадратная матрица, у которой по диагонали стоят единицы, на месте , при , стоит число , а на остальных местах стоят нули. Обозначается такая трансвекция .

Примеры трансвекций:

,     ,     .

Легко видеть, что .

Проведем эксперимент. Умножим квадратную матрицу  3-го порядка слева на трансвекцию :

=.

В ответе узнаем результат прибавления ко второй строке первой строки, умноженной на число . Найдите произведения , , , , . Проделанные эксперименты убеждают в справедливости следующего общего утверждения.

Лемма 1.  Умножение квадратной матрицы  слева на трансвек­цию   равносильно прибавлению к i-й строке j-й строки, умно­женной на число .

Доказательство сводится к непосредственной проверке.         *

Теорема 7.  Всякую квадратную матрицу  можно представить в виде , где  ¾ некоторые трансвекции, а   ¾ ступенчатая матрица.

Доказательство. Данную матрицу  можно привести к ступенчатому виду , выполняя преобразования одного вида: прибавление к одной строке другой строки, умножен­ной на число. Отсюда и из леммы 1 вытекает существование таких трансвекций , , … , , что . Но тогда .  Поскольку матрица, обратная трансвекции, сама является трансвекцией, то утверждение доказано.                                                                                  *

Теорема 8.  Если квадратная матрица  обратима, то она представима в виде , где  ¾ трансвекции, а  ¾  диагональная мат­рица.