Основные свойства знаков

1. Знак тождественной подстановки равен 1.

Доказательство. Тождественная подстановка e четная, так как . Следовательно, . *

2. Знак транспозиции равен 1.

3 Знак произведения подстановок равен произведению знаков этих подстановок.

Доказательство. Равенство доказывается перебором всех возможных случаев относительно четности подстановок a и b. Например, если подстановка a четная, а b нечетная, то подстановка будет нечетной и мы получаем и . *

4. Если подстановку умножить на транспозицию, то знак подстановки изменится на противоположный.

Доказательство. Для произвольной подстановки a и транспозиции t имеем: . *

5. .

Доказательство. . *

У п р а ж н е н и я

1. Задайте подстановки и матрицами и найдите , , , , , .

2. Задайте подстановки и в виде произведений независимых циклов и найдите произведения, указанные в предыдущем задании.

3. Задайте подстановку матрицей и разложите ее в произведение независимых циклов.

4. Задайте подстановку матрицей и разложите ее в произведение транспозиций.

5. Задайте подстановку в виде произведения независимых циклов и найдите ее знак.

6. Как изменится знак подстановки, если ее умножить на цикл длины 4?

7. Чему равен знак подстановки ?

См. [14], №№ 4.5.3-4.5.5; 4.5.7 - 4.5.9; 4.5.18; 4.5.18;

[20], №№ 169-173, 178; 151-168; 151-168; 151-168.

§ 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1. Определители 2-го порядка. Рассмотрим квадратную матрицу порядка 2:

.

Найдем произведения элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца данной матрицы:

¾ произведение элементов главной диагонали;

¾ произведение элементов побочной диагонали.

Для каждого из этих произведений составим подстановку, первой строкой которой являются индексы строк выбранных элементов, а второй строкой ¾ индексы столбцов этих элементов:

, .

Знак первой подстановки равен +1, а второй ¾ равен . Припишем эти знаки соответствующим произведениям и найдем сумму полученных произведений:. Найденное таким образом число называется определителем данной матрицы или определителем второго порядка и обозначается

=.

Слагаемые называются членами определителя.

Схема вычисления определителя 2-го порядка: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример. Вычислим определитель второго порядка:

.

2. Определители 3-го порядка. Пусть дана матрица 3-го порядка

.

Выпишем всевозможные произведения элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца данной матрицы. Затем для каждого произведения выпишем подстановку индексов: в первой строке ¾ индексы строк выбранных элементов, а во второй строке ¾ индексы столбцов этих элементов. Найдем знак подстановки и припишем его произведению выбранных элементов. Наконец, найдем сумму произведений с их знаками. Полученное число называется определителем данной матрицы или определителем 3-го порядка, а каждое произведение с соответствующим знаком называется членом определителя. Все указанные вычисления занесем в таблицу.

Произведения элементов	Подстановки индексов	Знаки подстановок	Члены определителя
		+
		+
		+
			
			
			

Таким образом, определитель третьего порядка находится по формуле:

Схема вычисления определителя 3-го порядка: со знаком "+" берутся произведения элементов главной диагонали и произведения двух элементов, взятых параллельно главной диагонали, на недостающий третий элемент по другую сторону от этой диагонали; со знаком "" берутся произведения элементов побочной диагонали и произведения двух элементов, взятых параллельно побочной диагонали на недостающий третий элемент по другую сторону от этой диагонали (рис. 6).

Пример. Вычислим определитель третьего порядка

.

3. Определители n-го порядка. Пусть дана квадратная матрица порядка n

.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется сумма произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем произведение берется со знаком, равным знаку подстановки, первая строчка которой составлена из индексов строк элементов произведения, а вторая ¾ из соответствующих индексов столбцов элементов. Указанные произведения с их знаками называются членами определителя.

Обозначается

.

Произвольный член определителя имеет вид , где . Если обозначить через множество всех подстановок символов, то определитель можно записать в виде

.

4. Основные свойства определителей. Сначала установим, что можно ограничиться доказательствами свойств определителей, связанных со строками квадратной матрицы, "бесплатно" получая соответствующие свойства для столбцов.

1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не изменяется.

Доказательство. Докажем, что . Произведение элементов, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца матрицы (матрицы ) является, очевидно, произведением элементов, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца матрицы (матрицы ). Так что и представляют собой суммы одних и тех же произведений вида . В это произведение войдет со знаком, равным знаку подстановки , а в оно войдет со знаком, равным знаку подстановки (индексы строк стали индексами столбцов). Но . Следовательно, и состоят из одних и тех же слагаемых, а значит равны между собой. *

Из доказанного свойства вытекает, что всякое свойство определителя, доказанное для строк матрицы, будет справедливо и для столбцов. Поэтому дальнейшие свойства определителей будем формулировать и доказывать только для строк. Формулировку соответствующего свойства для столбцов предоставляем читателю.

2. Если квадратная матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Каждый член определителя должен содержать элемент из нулевой строки, а значит, каждый член определителя равен нулю. Следовательно, и определитель матрицы равен нулю. 

3. Если в квадратной матрице поменять местами две строки, то определитель матрицы изменит знак на противоположный.

Доказательство. Пусть, поменяв местами в квадратной матрице k-ю и m-ю строчки, получили матрицу . Очевидно, и равны суммам одних и тех же произведений элементов матрицы . Убедимся, что знаки этих произведений в и в противоположны. Рассмотрим произвольный член определителя матрицы : , где . Произведение войдет в определитель матрицы со знаком, равным знаку подстановки . Замечаем, что , откуда . Итак, каждое произведение войдет в и в с противоположными знаками. Следовательно, . 

4. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Поменяем местами две одинаковые строки данной квадратной матрицы . По предыдущему свойству определитель матрицы изменит свой знак на противоположный. Но матрица не изменилась, следовательно, мы получаем , откуда и . 

5. Если строку квадратной матрицы умножить на некоторое число, то определитель полученной матрицы будет равен произведению этого числа на определитель исходной матрицы.

Доказательство. Всякий член определителя преобразованной матрицы должен содержать один элемент из строки, умноженной на число. Следовательно, этот член определителя равен соответствующему члену определителя первоначальной матрицы, умноженному на это число. Но тогда и весь определитель исходной матрицы окажется умноженным на это число. 

6. Если в квадратной матрице две строки пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть ¾ строчки квадратной матрицы A и пусть . Тогда, используя свойства 5 и 4, получаем:



7. Если в некоторой строке квадратной матрицы каждый элемент равен сумме двух слагаемых, то определитель этой матрицы равен сумме определителей двух матриц, у первой из которых в этой же строке стоят первые слагаемые, а у второй ¾ вторые слагаемые, а остальные элементы этих матриц такие же, как у первоначальной матрицы.

Доказательство. Пусть в k-той строке матрицы A каждый элемент равен сумме двух слагаемых. Рассмотрим произвольный член определителя этой матрицы:

.

Отсюда и следует наше утверждение. 

8. (Вычислительное свойство.) Определитель матрицы не изменится, если к одной строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на число.

Доказательство. Обозначим строчки данной матрицы A через . Прибавив к первой строке вторую строку, умноженную на число , и пользуясь свойствами 7 и 6, получаем

. 

9. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

Доказательство. Пусть даны квадратные матрицы и порядка n, докажем, что . Вспомним, что умножение матрицы слева на произвольную трансвекцию равносильно прибавлению к одной строке матрицы другой строки, умноженной на число (§5, пункт 6, лемма 1). При этом преобразовании определитель матрицы не изменяется (свойство 8). Следовательно, . По теореме 7, §5, матрицу можно представить в виде , где ¾ некоторые трансвекции, ¾ ступенчатая матрица. Предположим в начале, что матрица не обратима. Тогда ее ранг меньше размерности и, следовательно, последняя строка матрицы нулевая. Но тогда и . Следовательно, . Ясно, что в этом случае произведение также будет иметь нулевую строку, откуда и . Таким образом, .

Наконец, предположим, что матрица обратима. Тогда, по теореме 8, §5, она представима в виде , где ¾ трансвекции, а ¾ диагональная матрица. Отсюда . Пусть диагональными элементами матрицы являются . Непосредственным вычислением убеждаемся, что умножение матрицы на матрицу приводит к умножению каждой строки матрицы на соответствующий диагональный элемент матрицы . Но умножение строки матрицы на число приводит к умножению определителя матрицы на это число. Следовательно, . Таким образом, . *

10. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.) Определитель матрицы равен нулю матрица содержит строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

Доказательство. (). Пусть . Предположим противное, тогда строчки матрицы A линейно независимы. Значит, ранг матрицы A равен числу ее строк, и, следовательно, матрица обратима. Имеем: ¾ пришли к противоречию. Остается принять, что матрица A содержит строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

(). Обозначим строчки данной матрицы A через . Пусть первая строка является линейной комбинацией остальных строк: . Тогда, используя свойства 7 и 6, получаем

. 

5. Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду. Наиболее простым является способ вычисления определителей методом приведения данной матрицы к треугольному виду. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Рассмотрим два характерных примера.

Пример 1. Вычислим определитель приведением матрицы к треугольному виду.

.

Пояснения к вычислениям

1. Очень просто под единицей делать нули, поэтому в левом верхнем углу матрицы хотелось бы иметь 1. Этого можно добиться, поменяв местами первый и второй столбцы матрицы, при этом знак определителя изменяется на противоположный.

2. Делаем нули в первом столбце под 1, пользуясь вычислительным свойством определителя.

3. Меняем местами вторую и третью строчки, определитель изменяет знак.

4. Делаем нули во втором столбце под .

5. Из второй строки выносим , а из третьей выносим .

Пример 2. Вычислим определитель n-го порядка

.

Вычтем последний столбец из всех предыдущих, а затем к последней строке прибавим все предыдущие строки:

= = = 2n+1.

6. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Пусть дана квадратная матрица

.

Выделим элемент и вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит этот элемент. Найдем определитель полученной матрицы. Он называется минором элемента и обозначается через . Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком, равным , и обозначается через . Таким образом,

=; ==.

Аналогично получаем минор и алгебраическое дополнение элемента :

=; ==.

Теперь дадим общее определение этим понятиям.

Определение 2. Минором элемента квадратной матрицы называется определитель матрицы, которая получается из при вычеркивании i-ой строки и j-го столбца. Обозначается . Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком, равным . Обозначается . Таким образом, =.

Легко видеть, что

====;

=== ====.

Докажем общее утверждение.

Лемма. Если в некоторой строке квадратной матрицы все элементы некоторой строки, кроме, быть может, выделенного элемента, равны нулю, то определитель этой матрицы равен произведению выделенного элемента на его алгебраическое дополнение.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда все элементы первой строки, кроме, быть может, , равны нулю. Каждый член определителя данной матрицы содержит элемент из первой строки, и если этот элемент не , то он равняется нулю. Все оставшиеся члены определителя содержат множитель . Вынесем его за скобки. Выражение в скобках представляет собой минор . Следовательно, ==.

Теперь предположим, что в i-й строке все элементы, кроме быть может , равны нулю. Сведем этот случай к предыдущему. Сначала i-ю строку поставим на первое место, сделав при этом i перемен мест строк. Это равносильно умножению определителя на . Затем j-й столбец переместим на первое место, сделав при этом j перемен мест столбцов. Это равносильно умножению определителя на . В итоге определитель окажется умноженным на , а элемент окажется в левом верхнем углу. Таким образом, . 

Теорема 1. (О разложении определителя по элементам строки или столбца.) Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Доказательство. Для простоты рассмотрим разложение определителя по элементам первой строки. При этом, мы используем свойство определителей 7 и доказанную выше лемму.

=

=. 

Пример вычисления определителя разложением по элементам строки или столбца. Этот способ особенно эффективен в случае, когда в некоторой строке или в некотором столбце есть нули. Например, следующий определитель целесообразно разложить по элементам второй строки:

= 3 =

второй определитель равен нулю (почему?); первый определитель разложим по элементам 3-го столбца:

= (3) 4 = 12 (206) = 168.

Теорема 2. Сумма произведений элементов некоторой строки квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Найдем, например, сумму произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения элементов первой строки. Воспользовавшись леммой, получаем

=

.



7. Нахождение обратной матрицы с помощью определителей.

С каждой матрицей связывается так называемая присоединенная матрица. Покажем на примере как она строится. Пусть дана матрица

.

Для каждого элемента матрицы найдем его алгебраическое дополнение:

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Составим матрицу порядка 3, записывая в столбцы алгебраические дополнения соответствующих элементов строк:

==.

Так построенная матрица называется присоединенной для матрицы . Дадим общее определение.

Определение 3. Присоединенной для квадратной матрицы называется матрица , столбцы которой составлены из алгебраических дополнений соответствующих элементов строк матрицы .

Продолжим эксперименты с данной выше матрицей . Найдем ее определитель и произведение матрицы на присоединенную матрицу.

.

= .

Получили диагональную матрицу, у которой каждый элемент диагонали равен определителю данной матрицы . Случайно ли это?

Найдем произведение для произвольной матрицы порядка 3.

=.

Используя теоремы 1 и 2, находим:

,

,

.

Аналогично вычисляем остальные элементы результирующей матрицы. В итоге получаем

==.

Докажем общую теорему.

Теорема 3. Для любой квадратной матрицы A произведение .

Доказательство. Найдем произведение (произведение находится аналогично). Умножая первую строку матрицы A на первый столбец матрицы , получаем сумму произведений элементов первой строки матрицы A на их алгебраические дополнения, что по теореме 1 равно . Умножая первую строку матрицы A на второй столбец матрицы , получаем сумму произведений элементов первой строки матрицы A на алгебраические дополнения соответствующих элементов второй строки, что по теореме 2 равно 0. Вообще, умножая i-ю строку матрицы A на j-й столбец матрицы , при получаем сумму произведений элементов i-ой строки матрицы A на их алгебраические дополнения, что по теореме 1 равно , а при получаем сумму произведений элементов i-ой строки матрицы A на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки, что по теореме 2 равно 0. В результате получаем матрицу, у которой по диагонали стоят числа, равные , а вне диагонали стоят нули. Такая матрица равна . 

Следствие. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица находится по формуле .

Доказательство. Простой проверкой находим, что =

=. Аналогично находим . 

8. Метод Крамера. Используем предыдущие результаты для решения системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера. Запишем такую систему в матричном виде: AX=B, где A ¾ квадратная матрица системы, X ¾ столбец переменных и B ¾ столбец свободных членов. Умножим это матричное уравнение слева на присоединенную матрицу . Получим .

Найдем произведение .

= = .

Вычислим элементы последней матрицы и введем обозначения:

= = ,

= = ,

......................................................................................

= = .

Таким образом, для каждого матрица получена из матрицы путем замены i-го столбца столбцом свободных членов. В итоге получаем

.

Запишем это равенство в виде системы линейных уравнений

Если , то получаем так называемые формулы Крамера:

, , ... , .

Если же , но хотя бы один из определителей , , то последняя система, а вместе с ней и исходная система линейных уравнений, несовместны.

Наконец, если и ..., , то исходная система линейных уравнений либо совместна и неопределенна, либо несовместна. В этом можно убедиться, рассматривая следующие две простенькие системы:

В каждом случае и все , но первая система имеет бесконечное множество решений, а вторая решений не имеет.

Итак, нами доказана

Теорема 4. Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными, A ¾ матрица системы, и для любого матрица получена из матрицы A путем замены i-го столбца столбцом свободных членов. 1) Если определитель матрицы системы , то система имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам Крамера:

, , ... , .

2) Если , но хотя бы один из определителей , то система линейных уравнений несовместна.

3) Если и ... ,, то система либо совместна и неопределенна, либо несовместна.

9. Нахождение ранга матрицы с помощью определителей. Поясним на примере одно новое понятие. Рассмотрим матрицу, содержащую 4 строки и пять столбцов. Вычеркнем несколько строк и столбцов, чтобы оставшиеся элементы образовали квадратную матрицу. Например, вычеркнем вторую и четвертую строчки, первый, третий и пятый столбцы:

.

Из оставшихся элементов составим матрицу и найдем ее определитель:

.

Этот определитель называется минором 2-го порядка данной матрицы.

Вычеркивая одну строку (например, четвертую) и два столбца (например, третий и пятый), из оставшихся элементов получим минор 3-го порядка:

, .

Вычеркивая один (любой) столбец, можно получить минор 4-го порядка.

Определение 4. Минором k-го порядка матрицы, содержащей строк и столбцов, называется определитель матрицы, которая получается из данной при вычеркивании строк и столбцов.

Продолжим рассмотрение примера. Возьмем минор 3-го порядка и к соответствующей матрице «пришьем каемочку» из четвертой строки и пятого столбца данной матрицы. Определитель полученной матрицы

называется окаймлением данного минора 3-го порядка.

Можно «пришить» и другую «каемочку», например, из четвертой строки и третьего столбца:

получили другое окаймление минора .

Дадим общее определение.

Определение 5. Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов, и . Окаймлением минора k-го порядка данной матрицы называется определитель матрицы, которая получается в результате присоединения к матрице данного минора одной из вычеркнутых ранее строк и одного из вычеркнутых ранее столбцов.

Определение 6. Пусть дана матрица. Отличный от нуля минор, все окаймления которого равны нулю, называется базисным минором данной матрицы.

Теорема 5. (О базисном миноре.) Ранг ненулевой матрицы равен порядку базисного минора.

Доказательство. Пусть дана матрица и ее минор k-го порядка , причем все его окаймления равны нулю. Докажем, что ранг матрицы равен k. Поскольку при перестановке строк и столбцов матрицы ее ранг не изменяется, то можно считать, что соответствующая матрица расположена в левом верхнем углу матрицы .

Пусть ¾ матрица, образованная первыми k строчками матрицы (рис. 5a). Ее первые k столбцов входят в матрицу , а значит, линейно независимы. Следовательно, ранг матрицы равен k и первые k строк данной матрицы линейно независимы. Таким образом, ранг матрицы больше либо равен .

Предположим, что ранг матрицы строго больше k. Тогда существует строка матрицы , которая вместе с первыми k строчками образует линейно независимую систему из k+1 строк. Путем перемены мест строк поставим эту новую строчку на k+1-е место и обозначим через матрицу из этих k+1 первых строк (рис. 5b).

Обозначим через матрицу, состоящую из первых k столбцов матрицы . Поскольку первые k строк матрицы линейно независимы, то ее столбцы также линейно независимы. Итак, первые k столбцов матрицы линейно независимы. Поскольку ранг матрицы равен k+1 (вспомним, что ее строчки линейно независимы), то существует столбец матрицы , отличный от первых k столбцов, который вместе с ними образует линейно независимую систему. Поставим соответствующий столбец матрицы на k+1-е место (рис. 5c). В результате получим окаймление , которое отлично от нуля, что противоречит условию. Следовательно, ранг матрицы равен k. 

Пример. Найдите базисный минор и ранг матрицы

.

Решение. Находим отличный от нуля минор 2-го порядка. В нашем случае можно взять минор ==3. Для наглядности выделим матрицу, соответствующую этому минору:

.

Теперь к выделенной матрице «пришиваем» всевозможные «каемочки»:

,

и вычисляем соответствующие миноры:

===0,

===0.

Ответ: базисный минор ==3, ранг матрицы равен 2.

10. Решение произвольных систем линейных уравнений с помощью определителей. Рассмотрим метод решения систем линейных уравнений, который полностью сводится к вычислению определителей. Пусть дана система m линейных уравнений с n переменными. Выписываем расширенную матрицу системы и находим базисный минор матрицы системы. Если он не является базисным минором расширенной матрицы системы, то есть его окаймление некоторой строкой и столбцом свободных членов отлично от нуля, то это означает, что ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы и, стало быть, система линейных уравнений несовместна. Пусть базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы. Тогда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и, следовательно, система совместна. Очевидно, строчки (столбцы) расширенной матрицы, которые пересекаются с базисным минором, образуют базис системы вектор-строк (соответственно, вектор-столбцов). Поэтому, если из данной системы линейных уравнений удалить те уравнения, которые соответствуют строчкам, не пересекающимся с базисным минором, то получим систему, равносильную первоначальной. Кроме того, те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, являются главными, а остальные ¾ свободными. Переносим свободные переменные в правые части уравнений и полученную систему решаем по формулам Крамера, считая свободные переменные параметрами.

Пример. Решите методом определителей систему линейных уравнений

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы и находим базисный минор матрицы системы:

.

В предыдущем пункте уже найден базисный минор матрицы системы:

==3.

Остается проверить, является ли базисным минором расширенной матрицы. Для этого достаточно вычислить окаймление этого минора третьей строкой и столбцом свободных членов:

= 14+2+1+42 = 0.

Итак, ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен 2. Следовательно, система совместна и неопределенна. Третья строчка расширенной матрицы системы не пересекается с базисным минором, следовательно, третье уравнение системы можно отбросить. Главными являются те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, то есть и . Записываем оставшиеся уравнения, перенося свободные переменные в правые части уравнений:

Полученную систему решаем по формулам Крамера:

==3,

===,

===0;

==, ==.

Ответ: общее решение =, =0.

У п р а ж н е н и я

1. Какие из произведений , , являются членами определителя матрицы 4-го порядка?

2. Придумайте матрицу и найдите ее определитель.

3. Придумайте матрицу и найдите ей обратную с помощью определителей.

4. Придумайте квадратную систему линейных уравнений и решите ее методом Крамера.

5. Приведите пример системы линейных уравнений, определитель матрицы которой был бы равен нулю, а сама система была бы совместной (несовместной).

6. Как изменится определитель матрицы, если ее третью строчку поставить на первое место, сохранив порядок следования остальных строк?

7. Чему будет равен определитель квадратной матрицы порядка , если матрицу умножить на ?

8. Сколько членов определителя матрицы порядка , которые входят в определитель со знаком +?

9. Назовите вид однородной системы линейных уравнений, если определитель матрицы системы равен нулю.

10. Если матрица обратима, то будет ли обратимой присоединенная матрица ?

11. Дана квадратная матрица с элементами . Чему равно выражение ?

12. Пусть ¾ присоединенная матрица для матрицы . Чему равно выражение ?

13. Выпишите все трансвекции , где , .

14. Придумайте квадратную матрицу и ее элементарное преобразование. Осуществите его с помощью умножения на трансвекцию.

15. Придумайте квадратную матрицу, которая элементарными преобразованиями приводится к диагональному виду, и представьте ее в виде произведения диагональной матрицы, умноженной слева на трансвекции.

16. На какую матрицу нужно умножить данную матрицу, чтобы ее определитель удвоился (утроился)?

17. Придумайте матрицу и найдите ее ранг методом окаймления миноров.

18. Придумайте систему линейных уравнений, которая имела бы бесконечное множество решений, и найдите общее решение с помощью определителей.

19. Придумайте систему арифметических векторов и найдите ее базис с помощью базисного минора соответствующей матрицы.

См. [14], №№ 4.6.5, 4.6.6, 4.7.1, 4.8.3; 4.10.5; 4.10.6, 4.10.7;

[20], №№ 1-7, 43-60, 257-278, 279-325; 836-845; 74-77, 82-89;

[25], №№ 138-147, 151, 152, 163-237, 288, 335-354, 361-380.