№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9

№ 1(3). Даны вершины А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3) треугольника. Найдите:

1.     Длину стороны АВ;

2.     Внутренний угол А в радианах с точностью 0,001;

3.     Уравнение высоты, проведенной через вершину С;

4.     Уравнение медианы, проведенной через вершину С;

5.     Точку пересечения высот треугольника;

6.     Длину высоты, опущенной из вершины С;

7.     Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС. Сделайте чертеж.

 

1.01.    А(1;1);

В(7;4);

С(4;5);

1.02. А(1;1);

В(-5;4);

С(-2;5);

1.03. А(-1;1);

В(5;4);

С(2;5);

1.04. А(-1;1);

В(-7;4);

С(-4;5);

1.05. А(1;-1);

В(7;2);

С(4;5);

1.06. А(1;-1);

В(-5;2);

С(-2;3);

1.07. А(-1;-1);

В(5;2);

С(2;3);

1.08. А(-1;-1);

В(-7;2);

С(-4;3);

1.09. А(0;1);

В(6;4);

С(3;5);

1.10. А(1;0);

В(7;3);

С(4;4);

1.11. А(2;2);

В(-3;6);

С(0;7);

1.12. А(4;4);

В(10;7);

С(7;8);

1.13. А(3;2);

В(9;5);

С(6;6);

1.14. А(2;0);

В(-4;3);

С(-1;4);

1.15. А(-2;-2);

В(-8;1);

С(-5;2);

1.16. А(0;-2);

В(-6;1);

С(-3;2);

1.17. А(0;2);

В(6;5);

С(3;6);

1.18. А(2;3);

В(8;6);

С(5;7);

1.19. А(-3;-3);

В(3;-1);

С(-1;0);

1.20. А(-3;-5);

В(3;-2);

С(0;1);

1.21. А(-2;0);

В(2;6);

С(3;-4);

1.22. А(-2;0);

В(3;4);

С(2;-5);

1.23. А(-2;0);

В(4;2);

С(3;-4);

1.24. А(0;-3);

В(-2;2);

С(3;4);

1.25. А(0;-3);

В(-3;4);

С(4;2);

1.26. А(0;-3);

В(4;2);

С(2;-4);

1.27. А(-4;-4);

В(-2;4);

С(2;-2);

1.28. А(-4;-4);

В(0;-2);

С(3;-2);

1.29. А(-4;-4);

В(2;0);

С(4;-2);

1.30. А(2;3);

В(6;4);

С(5;-4);

1.31. А(2;3);

В(-2;1);p

С(3;-4);

1.32. А(3;2);

В(6;3);

С(4;-4);

1.33. А(3;2);

В(0;-2);

С(4;-4);

1.34. А(-3;3);

В(4;4);

С(3;-4);

1.35. А(-3;3);

В(0;2);

С(-2;-4);

1.36. А(0;-4);

В(2;3);

С(4;-4).

 

в начало    образец решения



№ 2(3). Пирамида АВСD задана координатами своих вершин. Найдите:

1.           Длину ребра АВ;

2.           Уравнение прямой АВ;

3.           Величину угла между ребрами АВ и АD;

4.           Уравнение плоскости АВС;

5.           Величину угла между ребром АD и плоскостью АВС;

6.           Площадь грани АВС;

7.           Объем пирамиды;

8.           Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС;

9.           Величину угла между плоскостями ABC, ADC.

Сделайте чертеж.

 

2.01. A(4,2,5);

B(0,2,7);

C(0,5,7);

D(1,5,0);

2.02. A(4,4,10);

B(4,10,2);

C(2,8,4);

D(9,6,9);

2.03. A(4,6,5);

B(6,9,4);

C(2,10,10);

D(7,5,9);

2.04. A(3,5,4);

B(8,7,4);

C(5,10,4);

D(4,7,8);

2.05. A(10,6,6);

B(-2,8,2);

C(6,8,9);

D(7,10,3);

2.06. A(1,8,2);

B(5,2,6);

C(5,7,4);

D(4,10,9);

2.07. A(6,6,5);

B(4,9,5);

C(4,6,11);

D(6,9,3);

2.08. A(7,2,20);

B(5,7,7);

C(5,3,1);

D(2,3,7);

2.09. A(8,6,4);

B(10,5,5);

C(5,6,8);

D(8,10,7);

2.10. A(7,7,7);

B(6,5,8);

C(3,5,8);

D(8,4,1);

2.11. A(3,1,4);

B(-1,6,1);

C(-1,1,6);

D(0,4,-1);

2.12. A(3,3,9);

B(6,9,1);

C(1,7,3);

D(8,5,8);

2.13. A(3,5,4);

B(5,8,3);

C(1,9,9);

D(6,4,8);

2.14. A(2,4,3);

B(7,6,3);

C(4,9,3);

D(3,6,7);

2.15. A(3,5,5);

B(-3,7,1);

C(5,7,8);

D(6,9,2);

2.16. A(0,7,1);

B(4,1,5);

C(4,6,3);

D(3,9,8);

2.17. A(5,5,4);

B(3,8,4);

C(3,5,10);

D(5,8,2);

2.18. A(6,1,1);

B(4,6,6);

C(4,2,0);

D(1,2,6);

2.19. A(7,5,3);

B(9,4,4);

C(4,5,7);

D(7,9,6);

2.20. A(6,6,2);

B(5,4,7);

C(2,4,7);

D(7,3,0);

2.21. A(1,-3,1);

B(-3,2,-3);

C(-3,-3,3);

D(-2,0,-4);

2.22. A(1,-1,6);

B(4,5,-2);

C(-1,3,0);

D(6,1,5);

2.23. A(1,1,1);

B(3,4,0);

C(-1,5,6);

D(4,0,5);

2.24. A(0,0,0);

B(5,2,0);

C(2,5,0);

D(1,2,4);

2.25. A(7,1,2);

B(-5,3,-2);

C(3,3,5);

D(4,5,-1);

2.26. A(-2,3,-2);

B(2,-3,2);

C(2,2,0);

D(1,5,5);

2.27. A(3,1,1);

B(1,4,1);

C(1,1,7);

D(3,4,-1);

2.28. A(4,-3,-2);

B(2,2,3);

C(2,-2,-3);

D(-1,-2,3);

2.29. A(5,1,0);

B(7,0,1);

C(2,1,4);

D(5,5,3);

2.30. A(4,2,-1);

B(3,0,4);

C(0,0,4);

D(5,-1,-3);

2.31. A(5,3,2);

B(0,4,2);

C(-1,0,6);

D(2,-2,-2);

2.32. A(0,0,3);

B(2,-4,4);

C(3,3,2);

D(4,3,-2);

2.33. A(3,1,4);

B(0,1,6);

C(0,5,8);

D(1,4,0);

2.34. A(3,1,4);

B(6,9,4);

C(1,-2,4);

D(7,6,8);

2.35. A(5,2,0);

B(7,0,2);

C(2,-3,4);

D(1,2,4);

2.36. A(9,4,4);

B(-2,7,3);

C(3,5,10);

D(3,0,10).

 

в начало    образец решения



№ 3(3). Составьте уравнение линии, каждая точка которой удовлетворяет заданным условиям. Определите вид линии и построите ее.

3.01. Отстоит от прямой х=-6 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки А(1,3).

3.02. Находится вдвое дальше от точки А(3,0), чем от оси ординат.

3.03. Находится вдвое ближе к точке А(1,0) чем к точке В(-2,0).

3.04. Равноудалена от точки А(2,2) и от оси абсцисс.

3.05. Отстоит от точки А(4,0) вдвое дальше, чем от прямой х=1.

3.06. Расстояние от точки А(0,1) вдвое меньше расстояния от прямой     у=4.

3.07. Находится вдвое дальше от точки А(5,0), чем от оси ординат.

3.08. Находится вдвое дальше от точки А(2,0), чем от точки В(-1,0).

3.09. Расстояние от начала координат х от точки А(0,5) относятся как 3:2.

3.10. находится вдвое дальше от точки А(3,0), чем от прямой х=2.

3.11. Отношение расстояния от точки на линии до точки А(-2,1) к расстоянию до оси абсцисс равно 2/3.

3.12. Отношение расстояния от каждой точки на линии до точки А(-2,1) к расстоянию до оси абсцисс равно 2.

3.13. Каждая точки линии удалена от точки А(0,6) втрое дальше, чем от точки В(0,2).

3.14. Сумма квадратов расстояний от любой точки на линии до точек А(-2,0) и В(2,0) равна 16.

3.15. Разность квадратов расстояний от любой точки на линии до точек А(-2,0) и В(3,0) равна 4.

3.16. Каждая точка линии равноудалена от точки А(-2,2) и прямой х=2.

3.17. Расстояние от любой точки на линии до точки А(3,3) вдвое больше расстояния от прямой у=-2.

3.18. Расстояние от любой точки на линии до начала координат относится к расстоянию до прямой 3х+16=0 как 3:5.

3.19.Каждая точка линии удалена от точки А(0,9) втрое дальше, чем от точки В(0,1).

3.20. Каждая точка линии отстоит от точки А(5,7) на расстоянии в четыре раза больше, чем от точки В(-2,1).

3.21. Равноудалена от точки А(2,5) и прямой у=1.

3.22. Равноудалена от точки А(-4,3) и прямой у=-1.

3.23. Равноудалена от точки А(1,-1) и прямой у=1.

3.24. Равноудалена от точки А(3,-4) и прямой у=2.

3.25. Равноудалена от точки А(-2,-3) и прямой у=-1.

3.26. Отношение расстояния до точки А(6,0) и прямой х=1,5 равно2.

3.27. Отношение расстояния до точки А(3,0) и прямой х=4/3 равно1,5.

3.28. Отношение расстояния до точки А(10,0) и прямой х=2,5 равно2.

3.29. Отношение расстояния до точки А(2,0) и прямой х=4,5 равно2/3.

3.30. Отношение расстояния до точки А(3,0) и прямой х=12 равно 0,5.

3.31. Для каждой точки  расстояние до точки  А(-1,-2) равно расстоянию от прямой х=-3.

3.32. Для каждой точки отношение расстояний до точки А(7,0) и прямой х=7 равно.

3.33. Для каждой точки отношение расстояний до точки А(2,0) и прямой х=3 равно.

3.34. Для каждой точки расстояние до точки А(3,3) равно расстоянию от прямой у=4.

3.35. Для каждой точки отношение расстояний до точки А(2,0) и прямой х=2 равно 2.

3.36. Для каждой точки отношение расстояний до точки А(-1,0) и прямой х=-9 равно 1/3.

в начало    образец решения



№ 4(3). Какое множество точек задано на плоскости следующими уравнениями? Схематически покажите их расположение на ней.

       

4.01. 3х2+3у2=12;

4.19. 5х2-10х+3у2+6у+7=0;

4.02. х2-4у=3;

4.20. 9х2-16у2=-144;

4.03. 25х2+9у2=0;

4.21. 12х2+5у2-60=0;

4.04. 25х2+9у2=225;

4.22. 16х2+9у2-144=0;

4.05. 36х2+49у2=0;

4.23. х2-10х+у2-6у-30=0;

4.06. 3х2-4у2=12;

4.24. х2+4х-3у-11=0;

4.07. -4х+у2=0;

4.25. 16х2-9у2-1=0;

4.08. -125+5у2=0;

4.26. 16х2-25у2=0;

4.09. х2+(у-2)2=7;

4.27. 5х2+9у2=0;

4.10. 4х2+у2=9;

4.28. 15х2+25у2-375=0;

4.11. 16х2+7у2-112=0;

4.29. х2-6х+10у+у2+9=0;

4.12. 36х2+12у2-432=0;

4.30. х2+у2+6х-8у=0;

4.13. х2-2Х+4У-у2-20=0;

4.31. х2+у2-6у=0;

4.14. х2+у2-8х-4у=5;

4.32. 4х2 +25у2-100=0;

4.15. 2х2+6х-у+7=0;

4.33. 25х2+16у2-50х+64у-311=0;

4.16. х2+6х+у2=0;

4.34. 9х+у2=0;

4.17. х2-9у=0;

4.35. 36х2+4у2=0;

4.18. х2+10х+у2-6х-30=0;

4.36. 36х2+100у2=0.

 

в начало    образец решения



№ 5(3). Какие поверхности задаются следующими уравнениями? Схематически покажите их расположение.

 

5.01. х2+y2=z2;

5.19. 4х2+y2+z2=8x;

5.02. 9х2-4z2=36;

5.20. y2+z2=x;

5.03. х2=z2;

5.21. х2+y2=x;

5.04. y2=6x;

5.22. х2+y2=25;

5.05. 4х2+9y2=36;

5.23. xy=25;

5.06. х2+y2-4z=0;

5.24. х2+y2+z2=25;

5.07. х2+y2+2y+z2+2-1=0;

5.25. y2-z2=0;

5.08. х2+y2+z2-8x+4y-2z-43=0;

5.26. х2+y2+z2+2x-4y-6z+5=0;

5.09. х2+y2+z2-2x+4y-6z-14=0;

5.27. 4х2+2y2-z2-16=0;

5.10. х2+y2+z2-2x+2z=16;

5.28. 2y2+3z2-3x+5=0;

5.11. 10х2-4y2+5z2+100=0;

5.29. 7х2+5y2-3z+5=0;

5.12. 2х2+3y2-7z2+14=0;

5.30. 7х2+15z2-210=0;

5.13. х2=y2;

5.31. 4х2+9y2-36z2-144=0;

5.14. z2=6y;

5.32. х2+6y2-z2-36=0;

5.15. xy=36;

5.33. 2х2-4y2-z2-16=0;

5.16. х2-y2=0;

5.34. 2х2+5y2-10=0;

5.17. 2х2+25y2+4z2=0;

5.35. 2х2+3y2+12z2-96=0;

5.18. -х2+z2=0;

5.36. 9х2+4y2-36z2-144=0;

 

 

в начало    образец решения



№ 6(3). Установите, является ли данная система векторов линейно зависимой, и если да, то найдите эту зависимость и укажите несколько конкретных зависимостей.        

 

6.01.                   А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.02.                     А)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б)

;

6.03.                     А)

 

 

Б)

 

6.04.                      А)

 

 

 

 

 

 

 

 

Б)

 

 

6.05.                      А)

 

 

Б)

 

 

6.06.                       А)

 

 

Б)

 

 

6.07.                        А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

 

6.08.                         А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

 

6.09.                       А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.10.                       А)

 

Б)

;

6.11.                      А)

;

 

Б)

6.12.                      А)

 

Б)

 

6.13.                      А)

 

Б)

;

6.14.                      А)

 

Б)

 

6.15.                       А)

 

 

Б)

 

6.16.                      А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.17.                       А)

 

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.18.                         А)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.19.                        А)

 

 

Б)

6.20.                       А)

 

 

Б)

6.21.                       А)

 

Б)

 

6.22.                        А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.23.                         А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.24.                         А)

;

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.25.                         А)

 

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.26.                       А)

 

 

 

 

 

 

 

Б)

6.27.                        А)

 

Б)

 

6.28.                         А)

 

Б)

 

6.29.                        А)

 

Б)

6.30.                         А)

 

Б)

6.31.                         А)

 

Б)

 

6.32.                          А)

 

Б)

 

6.33.                          А)

 

Б)

 

6.34.                          А)

 

Б)

6.35.                           А)

 

Б)

6.36.                          А)

 

Б)

 

в начало    образец решения



№ 7(3).  Найдите базис данной конечной системы векторов и векторы, не входящие в базис, выразите через базисные векторы.

 

7.01.

 

 

7.02.

 

 

7.03.

 

7.04.

7.05.

 

 

7.06.

7.07.

 

7.08.

7.09.

 

7.10.

7.11.

 

7.12.

 

7.13.

 

7.14.

7.15.

;

 

7.16.

;

7.17.

 

7.18.

7.19.

 

7.20.

 

7.21.

;

 

7.22.

;

 

7.23.

 

7.24.

 

7.25.

 

7.26.

 

7.27.

 

7.28.

 

7.29.

 

7.30.

 

7.31.

;

 

7.32.

;

 

7.33.

 

7.34.

7.35.

 

7.36.

 

в начало    образец решения



№ 8(3). Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора j векторного пространства R3 над полем R, заданного в некотором базисе матрицей А, если:

 

 

8.01.

 

;

8.02.

 

;

8.03.

 

;

8.04.

 

;

8.05.

 

;

8.06.

 

;

8.07.

 

;

8.08.

 

;

8.09.

 

;

8.10.

 

;

8.11.

 

;

8.12.

 

;

8.13.

 

;

8.14.

 

;

8.15.

 

;

8.16.

 

;

8.17.

 

;

8.18.

 

;

8.19.

 

;

8.20.

 

;

8.21.

 

;

8.22.

 

;

8.23.

 

;

8.24.

 

;

8.25.

 

;

8.26.

 

;

8.27.

 

;

8.28.

 

;

8.29.

 

;

8.30.

 

;

8.31.

 

;

8.32.

 

;

 

8.33.

 

;

8.34.

 

;

8.35.

 

;

8.36.

 

.

 

 

в начало    образец решения



№ 9(3). Выясните, можно ли матрицу А линейного оператора j вещественного пространства V привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, и если можно, то найдите этот базис и соответствующую ему диагональную матрицу, если:

 

9.01.

 

;

9.02.

 

;

9.03.

 

;

9.04.

 

;

9.05.

 

;

9.06.

 

;

9.07.

 

;

9.08.

 

;

 

 

9.09.

 

;

 

9.10.

 

;

9.11.

 

;

9.12.

 

;

 

9.13.

;

 

9.14.

;

 

9.15.

;

9.16.

;

 

 

9.17.

;

9.18.

;

9.19.

;

9.20.

;

 

9.21.

;

9.22.

;

9.23.

;

9.24.

;

 

 

9.25.

;

9.26.

;

9.27.

;

9.28.

;

 

 

9.29.

;

9.30.

;

9.31.

;

9.32.

;

 

9.33.

 

;

9.34.

 

;

9.35.

 

;

9.36.

 

.

 

 

 

 

в начало    образец решения