модуль 7

№ 1(7). Найдите общее решение дифференциального уравнения в примере а) и частное решение в примере б).

1.01. а) x²y’=2xy-3;

б) y’-4xy=x, x₀=0, y₀=0;

1.18. a) y-xy’=b(1+x²y’)=0;

б) y’cosx-2ysinx=2, x₀=0, y₀=3;

1.02. a) 2xyy’+x²=y²;

б) y’-y/x=x², x₀=1, y₀=0;

1.20. a) y’=y²/x²-2;

б) y’cosx+ysinx=1, x₀=0, y₀=2;

1.03. a) y’-ytgx =1/cosx;

б) y’-yctgx=2xsinx, x₀=/2, y₀=0;

1.21. a) y’=;

б) y’-y/(x+1)=e^x(x+1), x₀=0, y₀=1;

1.04. a) (1+e^x)yy’=e^x;

б) y’+ycosx=0,5sin2x, x₀=0, y₀=0;

1.22. a) y’-2у=-х²;

б) y’-4xy=x, x₀=0, y₀=0;

1.05. a) xy²+x+y(x²-1)y’=0;

б) y’+ytgx=cos²x, x₀=/4, y₀=1/2;

1.23. a) у’+2xy=2x;

б) y’+y=, x₀=0, y₀=2;

1.06. a) (y²-3x²)dy+2xydx=0;

б) y’-y/(x+2)=x²+2x, x₀=-1, y₀=1,5;

1.24. a) y’cosx=(y+1)sinx;

б) y’-y/x=xcosx, y()=;

1.07. a) ylnydx+xdy=0;

б) y’-y/(x+1)=e^x(x+1), x₀=0, y₀=1;

1.25. a) x²y’-2xy=3;

б) y’=y/x+sin(y/x), y(1)=/2;

1.08. a) 3y²y’+y³=x+1;

б) y’-y/x=xsinx, x₀=/2, y₀=1;

1.26. a) xy’+y=x+1;

б) xy’-y=xtg(y/x), y(1)=/2;

1.09. a) x(1+x²)y’=y+yx²-x²;

б) y’+y/x=sinx, x₀=/2, y₀=1/;

1.27. a) y’=secx+ytgx;

б) y’=x/y+y/x, y(1)=0;

1.10. a) x²(y+1)dx+(x³-1)(y-1)dy=0;

б) y’+2x/(1+x²)y=2x²/(1+x²), x₀=0, y₀=2/3;

1.28. a) y²+x²y’=xyy’;

б) y’-3y/x=2/x³, y(1)=1;

1.11. a) x(1+x²)y’=y+yx²-x²;

б) y’+ycosx=0,5sin2x, x₀=0, y₀=0;

1.29. a) y’=(sinx-y)cosx;

б) y-xy’=xsec(y/x), y(1)=0;

1.12. a) x²(y+1)dx+(x³-1)(y-1)dy=0;

б) y’-ysinx=e^-cosxsin2x, x₀=/2, y₀=3;

1.30. a) y’+2y=e^-x;

б) (xy’-y)arctg(y/x)=x, y(1)=0;

1.13. a) (x³-3y²)dx+2xydy=0;

б) y’+2xy=2x, x₀=0, y₀=5;

1.31. a) y’+2y=4x;

б) xy’=+y, y(1)=0;

1.14. a) y’=(y+1)/x=0;

б) y’+y=, x₀=0, y₀=2;

1.32. a) (x²-y²)y’=2xy;

б) y’+ytgx=cos²x, y(0)=2;

1.15. a) e^x-yy’=1;

б) (1+x²)y’-2xy=(1+x²)², x₀=-2, y₀=5;

1.33. a) xy’=yln(y/x);

б) xy’-y/(x+1)=x, y(1)=1;

1.16. a) y²y’=1-2x;

б) xy’-3y=x⁴e^x, x₀=1, y₀=e;

1.34. a) x²(y+1)dx+(x³-1)(y-1)dy=0;

б) y’+2x/(1+x²)y=2x²/(1+x²), x₀=0, y₀=2/3;

1.17. a) sinxcosxdy=sinxcosxdx;

б) xy’+2y=1/x, x₀=3, y₀=1;

1.35. a) x²y’-2xy=3;

б) y’=y/x+sin(y/x), y(1)=/2;

1.18. a) y-xy’=b(1+x²y’)=0;

б) xy’+y=2x/(1+x²), x₀=1, y₀=0;

1.36. a) y-xy’=b(1+x²y’)=0;

б) y’cosx-2ysinx=2, x₀=0, y₀=3;

в начало образец решения

№ 2(7). Найдите общее решение дифференциального уравнения.

2.01. y’’(y+1)=3(y’)²=1;

2.19. x³y’’+x²y’=1;

2.02. y’’tgy=2(y’)²;

2.20. 3yy’’+(y’)²=0;

2.03. 3yy’’+(y’)²=0;

2.21. y’’tgy=2(y’)²;

2.04. 2xy’y’’=2(y’)²+1;

2.22. yy’’+(y’)²;

2.05. y’’(y+1)-5(y’)²=0;

2.23. 1+(y’)²+yy’’=0;

2.06. y’’tgy=2yy’;

2.24. 2yy’’+(y’)²=0;

2.07. y’’+2y(y’)³=0;

2.25. 2yy’’=(y’)²;

2.08. (1+x²)y’’=xy’;

2.26. 2yy’’=1+(y’)²;

2.09. 4xy’’-(’y)²=4y’

2.27. (y’)²+2yy’’=0;

2.10. y’’-2y’tgx=sinx;

2.28. y’’=1/(1+x²);

2.11. xy’’+2y’=x³;

2.29. yy’’+(y’)²;

2.12. y’’=(y’/x)+1;

2.30. yy’’=(y’)²;

2.13. y’’+y’tgx=sin2x;

2.31. xy’’=x+y’;

2.14.(1-x²)y’’=xy’;

2.32. 2yy’’+(y’)²+(y’)⁴;

2.15. y’’=x+cosx;

2.33. y’’’+3y’’-y’-3y=0;

2.16. xy’’+y’+x=0;

2.34. xy’’=1+y’;

2.17. (1+x²)y’’+2xy’=x3;

2.35. 2xy’-(y’’)²=0;

2.18. y’’tgy=2(y’)²;

2.36. 2(y’)²=(y-1)y’’;

в начало образец решения

№ 3(7). Найдите решение задачи Коши.

3.01. y’’-5y’+6y=(12x-7)e^-x, y(0)=0, y’(0)=0;

3.19. y’’+y=2x³-x+2, y(0)=1,

y’(0)=1;

3.02. y’’-4y’=6x²+1, y(0)=2,

y’(0)=3;

3.20. y’’+6y’+9y=10sinx, y(0)=0,
y’(0)=1;

3.03. y’’+6y’+9y=10e^-x, y(0)=3, y’(0)=2;

3.21. y’’+4y’-12y=8sin2x, y(0)=0,
y’(0)=0;

3.04. y’’+2y’+2y=xe^-x, y(0)=0,

y’(0)=0;

3.22. y’’-6y’+9y=x²-x+3, y(0)=4/3,
y’(0)=1/27;

3.05. y’’+4y’=sinx, y(0)=0,

y’(0)=1;

3.23. y’’-2y’+5y=xe²^x, y(0)=1,

y’(0)=1;

3.06. y’’+y’=e^-^x, y(0)=1,

y’(0)=-1;

3.24. y’’+5y’+6y=12cos2x, y(0)=1,
y’(0)=3;

3.07. y’’+9y’=36e^3x, y(0)=0,

y’(0)=0;

3.25. y’’-5y’+6y=(12x-7)e^-^x, y(0)=0, y’(0)=0;

3.08. y’’+4y’-12y=8sin2x, y(0)=0, y’(0)=0;

3.26. y’’-4y’+13y=26x+5, y(0)=1,
y’(0)=0;

3.09. y’’+3y’-10y=e^-2x, y(0)=0,

y’(0)=0;

3.27. y’’-4y’=6x²+1, y(0)=2,

y’(0)=3;

3.10. y’’+y’-2y=6x², y(0)=-4,

y’(0)=-1;

3.28. y’’-2y’+y=16e^x, y(0)=1,

y’(0)=2;

3.11. y’’-4y=8x³, y(0)=2,

y’(0)=-3;

3.29. y’’+6y’+9y=10e^-3x, y(0)=3,
y’(0)=2;

3.12. y’’-2y’+y=8e^x, y(0)=1,

y’(0)=3;

3.30. y’’+4y’+4y=e^3x, y(0)=1,

y’(0)=3;

3.13. y’’+2y’+5y=4e^-x, y(0)=1,

y’(0)=1;

3.31. y’’-5y’+6y=x, y(0)=5/36,

y’(0)=-1/6;

3.14. y’’+9y’=cos3x, y(0)=1,

y’(0)=3;

3.32. y’’+y’=cos2x, y(0)=-1/3,

y’(0)=1;

3.15. y’’-3y’+2y=e^x, y(0)=2,

y’(0)=2;

3.33. y’’+2y’+y=e^x, y(0)=0,

y’(0)=-2;

3.16. y’’-5y’+6y=13sin3x, y(0)=2,
y’(0)=2;

3.34. y’’+4y’=4sinx, y(0)=0,

y’(0)=2;

3.17. y’’-2y=2x+1, y(0)=1,

y’(0)=1;

3.35. y’’+4y’=4x, y(0)=0,

y’(0)=3;

3.18. y’’+y=2x³-x+2, y(0)=1,

y’(0)=1;

3.36. y’’-4y’+5x=5x-3, y(0)=-1/3,
y’(0)=0;

в начало образец решения

№ 4(7). Найдите три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения у=у(х) дифференциального уравнения

y’=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию у(0)=у₀.

4.01. y’=e^sinx+x, y(0)=0.

4.19. y’=2x-y, y(0)=2;

4.02. y’=xsinx-y², y(0)=1.

4.20. y’=y²+x, y(0)=1;

4.03. y’=xy+x²+y², y(0)=1.

4.21. y’=x²+y², y(0)=1;

4.04. y’=x²y+y³, y(0)=1.

4.22. y’=x²-y², y(0)=0;

4.05. y’=2x+y²+e^x, y(0)=1.

4.23. y’=x+x²+y², y(0)=1;

4.06. y’=xy+e^y, y(0)=0.

4.24. y’=y³-x, y(0)=1;

4.07. y’=sinx+0,5y², y(0)=1.

4.25. y’=siny-sinx, y(0)=0;

4.08. y’=xe^x+2y², y(0)=0.

4.26. y’=1+x+x²-2y², y(1)=1;

4.09. y’=2e^y-xy, y(0)=0.

4.27. y’=x²y²-1, y(0)=1;

4.10. y’=ycosx+2cosy, y(0)=0.

4.28. y’=e^y+xy, y(0)=0;

4.11. y’=1/y-x²+x, y(0)=4;

4.29. y’=1/10(x²+y²), y(1)=1;

4.12. у’=3e^y+cosx, y(0)=0;

4.30. y’=xy³+x², y(0)=0;

4.13. y’=1/y-x²-x, y(0)=3;

4.31. y’=y²+xy+x², y(0)=1;

4.14. y’=2e^y-sinx, y(0)=0;

4.32. y’=xy/(1+x+y), y(0)=0;

4.15. y’=2e^y-cosx, y(0)=0;

4.33. y’=(1-x²)/y+1, y(0)=1;

4.16. y’=x²y+y³, y(0)=1;

4.34. y’=sinx+siny, y(0)=0;

4.17. y’=x+2y², y(0)=0;

4.35. y’=cosy-cosx, y(0)=0;

4.18. y’=x-2y, y(0)=0;

4.36. у’=3e^y+cosx, y(0)=0.

5.01. Кривая проходит через точку А(2,-1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности к=3. найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.02. Кривая проходит через точку А(1,2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой сделать чертеж.

5.03. Кривая проходит через точку А(1,2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности к=3. Найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.04. Кривая проходит через точку А(1,5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.05. Кривая проходит через точку А(2,4) и обладает тем свойством, что отрезок, осекаемый на оси ординат любой касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.06. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(-1,1), если угловой коэффициент касательной в любой точке этой кривой равен квадрату ординаты точки касания. Сделать чертеж.

5.07. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(1,0) и обладающей тем свойством, что отрезок отсекаемый касательной от оси абсцисс, равен расстоянию от точки касания до начала координат. Сделать чертеж.

5.08. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2,-2) и обладающей тем свойством, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания. Сделать чертеж.

5.09. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(1,2), если угловой коэффициент касательной в любой точке этой кривой равен кубу ординаты точки касания. Сделать чертеж.

5.10. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(2,0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной от оси абсцисс, равен удвоенному расстоянию от точки касания до начала координат.

5.11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(4,-2) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен удвоенному квадрату ординаты точки касания. Сделать чертеж.

5.12. Кривая проходит через точку А(2,4) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке на удвоенную сумму координат точки касания равно ординате этой точки. Найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.13. Кривая проходит через точку А(1,2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе равно удвоенному коэффициенту касательной к этой кривой. Найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.14. Кривая проходит через точку А(2,3) и обладает тем свойством, что отрезок, осекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.15. Кривая проходит через точку А(1,2) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, сделать чертеж.

5.16. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(-2,2), если угловой коэффициент касательной в любой точке этой кривой равен удвоенному квадрату ординаты точки касания. Сделать чертеж.

5.17. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(2,0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной от оси абсцисс, равен половине расстояния от точки касания до начала координат. Сделать чертеж.

5.18. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(1,-1) и обладающей тем свойством, что расстояние от любой касательной до начала координат равно удвоенной абсциссе точки касания. Сделать чертеж.

5.19. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(3,4) и обладающей тем свойством, что отрезок, касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Сделать чертеж.

5.20. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(2,1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс, делится пополам в точке пересечения с осью ординат. Сделать чертеж.

5.21.Кривая проходит через точку (1,2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности к=3. Найти уравнение кривой.

5.22. Кривая проходит через точку (1,5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

5.23 Кривая проходит через точку (2,4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точке касания. Найти уравнение кривой.

5.24 Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (1,2) и обладающей тем свойством, что, отрезок отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

5.25 Найдите уравнения кривых, проходящих через точку (1,0) и удовлетворяющую условию: длина отрезка нормали от любой точки пересечения нормали с осью ординат равна длине радиуса – вектора точки М.

5.26 Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (0,2) и обладающей тем свойством, что площадь трапеции, образованной осями координат, касательной в любой точке М .

5.27 Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (1,1) и обладающей тем свойством, что проекция на ось Ох отрезка касательной в любой точке кривой от точки касания до точки пересечения с осью Ох есть среднее геометрическое координат точки касания.

5.28 Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (1,4) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания.

5.29 Найдите уравнение кривой, походящей через точку (0,1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ох нормалью, проведенной в любой точке кривой, равен длине радиуса – вектора этой точки.

5.30 Кривая проходит через точку (2,-1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности к=3. Найти уравнение кривой.

5.31 Кривая проходит через точку (1,2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.

5.32 Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью V₀=12 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен и через 10 сек скорость лодки уменьшилась до V₁=6км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 мин после остановки мотора.

5.33 Пуля, двигаясь со скоростью V₀=400м/с , входит в достаточно толстую стену. Сопротивление стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату его скорости с коэффициентом пропорциональности к=7м^-1 найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену.

5.34 Через сколько времени после начала вращения маховик будет обладать угловой скоростью 1 об/с, если он начал вращаться с угловой скоростью 5 об/с, а через две минуты его скорость равнялась 3 об/с? Сила трения, замедляющая работу маховика пропорциональна угловой скорости вращения.

5.35 Пуля входит в стену со скоростью 200 м/с . считая, что сила сопротивления стены движению пули пропорциональна квадрату скорости, определить, через какое время скорость пули уменьшилась вдвое, если через 0,8 с ее скорость равнялась 80 м/с.

5.36 Тело движется с начальной скоростью 50 м/с. Через 5 с скорость тела уменьшится до 30 м/с. Определить скорость тела через 10 с после начала движения, если сопротивление среды пропорционально произведению скорости на время от начала движения.