№ 1.(7) Решить дифференциальное уравнение первого
порядка.
.
Решение.
Данное
уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка y’+P(x)*y=Q(x), где P(x)=-1/(x+1), Q(x)=(x+1)2. будем искать его в виде решения двух
функций от х: у=U(x)*V(x)=U*V. Тогда у’=U’V+V’U. Подставляем
выражение у и у’ в исходное уравнение:
U’V+V’U-
U*V=(x+1)2;
U’V+(V’-*V)=(x+1)2 (*)
Для
определения V запишем уравнение V’-*V=0, то есть 
, откуда 
. Интегрируя, находим lnV=ln(1+x), или V=x+1.
Подставляя
найденное решение функции V в уравнение
(*), получаем уравнение из которого найдем функцию U:
, 
, 
, 
.
Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
таково:
Ответ: 
Назад
№ 2.(7) a) Найти частное решение уравнения y’’=xe-x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1, y’(0)=0.
Решение.
Найдем общее решение последовательности
интегрированием данного уравнения: y’’=
,
y=
, или y=(x+2)e-x+c1x+c2.
Воспользуемся начальными условиями: 1=2+с2; с2=-1; 0=-1+с1; с1=1.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид y=(x+2)e-x+x-1.
Это же решение можно найти и следующим образом,
используя сразу заданные начальные условия.
б) Найти
общее решение уравнения xy’’=y’ln(y’/x).
Полагая, y’=z, преобразуем уравнение к виду хz’=zln(z/x), или z’=(z/x)ln(z/x).
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая z/x=t, откуда z=tx, z’=t’x+t, получим уравнение
t’x+t=tlnt, или 
интегрируя, находим: ln(lnt-1)=lnx+lnc1, или lnt-1=c1x, откуда t=
,
возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению z=x. Следовательно, общее
решение имеет вид:
Ответ:
в) Решить
уравнение y’2+yy’’=yy’.
Решение.
Хотя это уравнение принадлежит к предыдущему виду, его
можно проинтегрировать более простым способом. В этом уравнении левая часть
есть (yy’)’, в силу чего
уравнение принимает вид (yy’)’=yy’, или 
.
Отсюда ln(yy’)=x+lnC1, или yy’=C1ex, то есть ydy=C1exdx.
Интегрируя находим
окончательный ответ:
у2/2=с1ух+с2-
общий интеграл уравнения.
Ответ: у2/2=с1ух+с2.
Назад
№ 3.(7) Найти частное решение
дифференциального уравнения:
y’’+4y’+3y=(x-2)ex,
при заданных начальных условиях у(0)=0,
у’(0)=1.
Решение.
1)
Общее решение данного неоднородного
линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y’’+py’+qy=0, есть сумма общего решения 
соответствующего однородного
линейного уравнения y’’+py’+qy=0 частного решения
у* неоднородного уравнения, то есть у=+у*.
Найдем
сначала общее решение для однородного уравнения y’’+4y’+3y=0. корни характеристического уравнения к2+4к+3 – это числа
к1=-3 и к2=-1. Значит, решение =
=
.
Теперь
найдем частное решение у* заданного неоднородного дифференциального уравнения.
Оно находится по виду правой части. Правая часть исходного уравнения имеет вид 
, причем число 
=1 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому
частное решение у* будем искать в виде у*=(Ах+В)*ех, где А и В – не найденные пока коэффициенты. Найдем (y*)’=Aex+Ax*ex+B*ex и (y*)’’=Aex+Aex+Axex+Bex и подставим
(y*), (y*)’, (y*)’’ в исходное дифференциальное уравнение.
Аex+Аex+Ахex+Вex+4(Аex+Ахex+Вex)+3(Ах+В) ex=(х-2)
ex;
ex(8Ах+6А+8В)=(х-2)
ex, или 8Ах+6А+8В=х-2.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
, отсюда А=1/8, В=-11/32.
Следовательно,
частное решение у* имеет вид:
у*=(1/8*х-11/32)
ex, а общее решение у==+(1/8х-11/32)ех
2)
Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным
условиям. Используя условие у(0)=0, получим 0=с1+с2-11/32.
Найдем
производную общего решения:
y’=
+1/8*ex+(1/8x-11/32)*ex.
Имеем
систему уравнений для определения с1 и с2:
, отсюда с1=-25/32, с2=9/8.
Итак,
частное решение:
у=-25/32*ех+9/8е-х+(1/8х-11/32)*ех. ==.
Ответ:
у==+(1/8х-11/32)ех – общее решение,
= - частное решение.
Назад
№ 4.(7) Найти три первых отличных от
нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, y’=1/y+x2+x удовлетворяющего
заданному начальному условию y(0)=2.
Решение.
Непосредственно
из уравнения с учетом начального условия находим
y’(0)=1/2+0+0=1/2.
Для
вычисления y’’(0) продифференцируем по х обе части исходного дифференциального уравнения
у’’=-y’/y2+x+1.
Подставляя
сюда начальное условие у(0)=2 и
найденное значение y’(0)=1/2, найдем
y’’(0)=-1/2*1/22+2*0+1=7/8.
Таким
образом,
y(x)
y’(0)+y’(0)x+(1/2!)y’’(f)x2=2+(1/2)x+(7/8)x2.
Ответ: y(x)2+(1/2)x+(7/8)x2.
Назад
№ 5.(7) Найти все линии, для которых
отрезок, отсекаемый на оси Ох от начала координат
касательной, проведенной в любой точке линии, равен квадрату абсциссы точки
касания. Выделить кривую, проходящую через точку Р(-1,-1).
Решение.
Пусть
у=f(x) – уравнение искомой линии. Выразим все упомянутые в
задаче величины через х, у, у’, учитывая при этом
геометрический смысл производной у’. МА – касательная к линии у=f(x). М(х,у)
– точка касания. ОА – отрезок, отсекаемый на оси Ох от
начала координат касательной МА. По условию задачи, ОА=х2. - угол наклона касательной МА к положительному направлению
оси Ох. Исходя из геометрического смысла производной,
запишем:
y’=tg=MB/AB=y/(OB-OA)=y/(x-x2), y’- угловой коэффициент касательной. Получено
дифференциальное уравнение искомой линии: y’y/(x-x2).
Проинтегрируем
это уравнение.
отсюда А=В=1, 
У=сх/(1-х)
– это общее решение дифференциального уравнения, уравнение семейства
интегральных кривых.
Выделим
кривую, проходящую через точку Р(-1,-1), используя это
начальное условие: у(-1)=-1.
-1=
, отсюда с=2. итак, искомая кривая имеет уравнение у=
. Этой кривой является гипербола с центром в точке 0(1,-2),
имеющая асимптоты х=1, у=-2. это легко получить, преобразовав уравнение
гиперболы к виду у-у0=к/(х-х0).
у=
Ответ: