образцы решения № 4

№ 1.(4) а) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнивая общий член данного ряда с общим членом сходящейся геометрической прогрессии , где q=1/3<1, замечаем, что при всех n. Следовательно, исследуемый ряд сходится по признаку

сравнения 1.

Б) Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Замечаем, что ==1/20. Необходимый признак сходимости не выполняется. Ряд расходится.

В) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнение с гармоническим рядом по признаку сравнения 1 здесь ничего не дает, так как , и никакого заключения о сходимости данного ряда сделать нельзя. Воспользуемся признаком сравнения 2 с тем же гармоническим рядом. Имеем: a_n=1/(n+lnn), b_n=1/n, следовательно, ===10.

Получен конечный и отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, и так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Г) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как ~~2/n²

(знак ~ означает эквивалентность последовательностей при ), то данный ряд ведет себя ( в смысле сходимости) так же, как ряд . Последний сходится как обобщенный гармонический с показателем р=2>1. следовательно, сходится и данный ряд.

Д) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применяем признак Даламбера. Здесь a_n=2ⁿ/n!, a_n₊₁=2ⁿ⁺¹/(n+1)!, следовательно, ряд сходится.

Е) Исследовать на сходимость ряд 1-1/2²-1/3²+1/4²+1/5²+1/6²-1/7²-1/8²-1/9²-1/10²+…

(плюс, два минуса, три плюса, четыре минуса, пять плюсов и т. д.;|a_n|=1/n²).

Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда . Он сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем р=2>1. Следовательно, сходится и данный ряд, и при том абсолютно.

№ 2.(4) Найдите область определения функции: y=;

Решение.

Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень для – неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств

Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором неравенстве заменим 1 на log₈8:

Заметим, что логарифмическое неравенство log_af(x) log_ag(x) при а> 1 равносильно системе неравенств

В нашем случае, основание логарифма 8>1, поэтому имеем систему

Последняя система равносильна неравенству

(х-3)(х-1)(х-5)(х+1)0, которое решим методом интервалов.

На числовую ось нанесем точки х₁=3, х₂=1, х₃=5, х₄=-1(это корни уравнения). Соответствующие этим корням точки отмечаем на числовой оси:

Закрашенными кружками – не удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружочками – не удовлетворяющие ему. Эти точки разбивают числовую ось на пять промежутков.

-1

1

3

5

Определяем знак выражения (х-3)(х-1)(х-5)(х+1) для значения х, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Изменение знаков иллюстрируем с помощью волнообразной кривой, проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком неравенства в рассматриваемом промежутке. С помощью этого рисунка получаем ответ: [-1;1)U(3;5].

Ответ: Д(у)=(;1)U(5;+ ).

№ 3.(4) Построить график функции: y= 2-log₂(x+1).

Решение.

Построим график функции y= 2-log₂(x+1), последовательно применяя преобразования графика функции y₁= log₂x по точкам:

1

Подпись:

Х	1/2	1	2	4	8
У	-1	0	1	2	3

График функции y₂=log₂(x+1) получаем из графика функции y₁= log₂x х сдвигом на 1 единицу влево по оси абсцисс. График функции y₃=- log₂(x+1) можно построить, отразив зеркально относительно оси абсцисс график функции y₂=log₂(x+1). График функции y= 2-log₂(x+1) построим сдвигом графика функции y₃=- log₂(x+1) вверх на 2 ед. по направлению оси ординат.

-1

1

У

Х

№ 4.(4) Найдите предел функции: а) .

Решение. При получаем неопределенность вида (). Чтобы найти предел дробной функции , необходимо разделить числитель и знаменатель дроби почленно на старший член числителя или знаменателя и применить основные теоремы о пределах:

====-.

Б) .

Решение. Подстановка предельного значения х=0 приводит к неопределенности вида (0/0). Чтобы раскрыть эту неопределенность, домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (), и вынесем общий множитель в знаменателе:

====.

В) .

Решение.

===. Это следует из того, что при х функции у=tg7x, y=tg5x являются бесконечно малыми величинами, а произведение двух б.м.в. является б.м.в. И если постоянную разделить на б.м.в, мы получим бесконечно большую величину.

Г) .

Решение. Здесь при раскрытии неопределенности «» мы будем использовать второй замечательный предел: , имеем

Здесь использовано =.

И кроме того:

===.

№ 5.(4) Исследуйте функцию f(x)=, на непрерывность и постройте ее график, если x₁=1, x₂=0.

Решение.

1) Необходимо исследовать поведение функции в точке х=1, так как в ней функция не определена. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке:

(здесь положили х=1-∆х и ∆х→0).

(положили х=1+∆х и ∆х→0).

Таким образом, левосторонний предел функции равен 0 и конечен, а правый предел функции равен бесконечности. Следовательно, точка х=1 есть точка разрыва 2-го рода.

Кроме того, найдем предел функции при х.