образцы решения № 5

№ 1.(5) Найдите производные заданных функций:

a) .

Решение.

Имеем y’=()’=3()^3-1*()^’=

=3*(7(x⁵)’-3(x^5/3)’+6’)= 3*(35x⁴-5x^2/3)=

=3*(35x⁴-5).

Здесь использованы :

1) правила дифференцирования;

2) таблица производных;

3) свойства степеней.

б) у=.

Решение.

Используем правило дифференцирования сложной функции:

в) y=arcsin3x-.

Решение.

y’=(arcsin3x-)’=(arcsin3x)’-()’=

Замечание. При решении примеров б) и в) использованы:

1) правила дифференцирования;

2) таблица производных;

3) свойства степеней.

№ 2.(5) Найдите и а) y=sin³x; б)

а) y=sin³x.

Решение.

1) Сначала находим первую производную:

2) Продифференцируем полученный результата еще раз, получаем вторую производную:

Ответ:

б)

Решение.

Функция задана параметрически. Для нахождения ее производной известны формулы:

Находим сначала нужные нам производные по аргументу t:

x’_t=(t²-1)’_t=2t;

x_tt’’=(x’_t)’_t=(2t)’_t=2;

y’_t=(lnt)’_t=1/t;

y_tt’’=(x’_t)’_t=(1/t)’_t=-1/t².

Используя результаты, находим нужные нам производные по озвученным выше формулам:

Ответ:

№ 3.(5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

y = x^{2 -}x³на отрезке [1;3].

Решение: В курсе математического анализа доказана теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке [a;b] функция y = f(x) принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значение, которые могут находиться либо в точках экстремума, расположенных на [a;b], либо в граничных точках отрезка. В связи с этим алгоритм решения задачи таков.

1. Находим производную функции:

y’=(1/2x²-1/3x³)’=x-x²;

2. Вычисляем критические точки:

x-x²=0,

х(1-х)=0,

х=0 или 1-х=0 х=1.

3. Выясняем, какие из критических точек лежат на нашем отрезке:

х=0¢[1;3];

x=1є[1;3].

4. Вычисляем значения функции в выделенных критических точках и на концах отрезка:

у(1)=1/2*1²-1/3*1³=1/2-1/3=1/6,

у(3)=1/2*3²-1/3*3³=9/2-9=-9/2;

5. Делаем выводы:

№ 4.(5) Построить график функции f(x)=.

Решение. 1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме х=1 (в этом случае знаменатель обращается в нуль).

2) Так как уравнение х²+1=0 не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1);

3) Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва х=1. Так как у при х, упри х, то прямая х=1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Если х(х), то у(у); следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее из существования пределов:

отсюда вытекает, что при х и при хграфик функции имеет наклонную асимптоту у=х+1;

4) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

Решая уравнение х²-2х-1=0, получаем две точки возможного экстремума: х₁=1- и х₂=1+.

5) Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

f’’(x)=

Так как f’’(x) в нуль не обращается, то критических точек нет;

6) Строим вспомогательный рисунок и исследуем знак первой и второй производных (рис.1). точки возможного экстремума, подлежащие рассмотрению: х₁=1- и х₂=1+, - разделяют область существования функции на интервалы: (1-), (1-, 1+) и (1+,). В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом – плюс, во втором – минус, в третьем – плюс (в этом можно убедиться, взяв в каждом из них произвольные значения х и вычислив при нем значение f’(x). Последовательность знаков f’(x) запишется так: +,-,+. Получаем, что функция на (1-) - возрастает, на (1-, 1+) – убывает, а на (1+,) – снова возрастает. Точки экстремума : максимум при х=1-, причем f(1-)=2-2; минимум при х=1+, причем f(1+)=2+2. На (1) график направлен выпуклостью вверх, а на (1,) – вниз.

7) По полученным данным строим эскиз графика (рис. 2)

Х

2-2

1-

2+2

1+

Рис. 2

№ 5.(5) Проволокой длиной 20 м. требуется огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора. Как следует взять радиус круга, чтобы площадь круга была наибольшей.

Решение.

1. этап. Составление математической модели.

Обозначим радиус круга через х, а длину дуги сектора через у. площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

S=1/2xy

Функция S зависит от двух переменных х и у, и она подлежит исследованию на максимум.

Согласно условию задачи периметр кругового сектора равен 20 м, то есть 2х+у=20 – это уравнение связи. Из него выразим у через х (можно, конечно, и наоборот): у=2*(10-х).

И, следовательно, S(х)=х*(10-х). Математическая модель задачи составлена.

2 этап. Работа с составленной математической моделью.

Находим производную:

S’(x)=(x*(10-x))’=(10x-x²)’=10-2x/

Находим критические точки, для чего приравниваем производную к нулю:

10-2х=0,

10=2х,

х=5.

Чтобы установить какой в точке х=5 экстремум, найдем значение второй производной в этой точке.

Имеем S’’(x)=(S’(x))’=(10-2x)’=-2, то есть S’’(5)=-2<0 – это означает, что в точке х=5 максимум функции S(х).

3 этап. Ответ на вопрос задачи.

Таким образом, надо взять радиус, равный 5 м. и тогда maxS(x)=5*(10-5)=25 (кв. м.)

Ответ: r=5м; S=25 кв.м.

№ 6.(5) Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Найдем радиус сходимости степенного ряда.

Следовательно, интервал сходимости ряда (-1,1). Подставим х=1 в исходный ряд, получим числовой ряд вида ==, также сходящийся абсолютно. Таким образом область сходимости степенного ряда [-1,1].